UTILITÉ DES III. V(* IX AIRES. — NOUVELLE DÉFINITION DE L’ALGÈRIIE

143 . Le signe y — i est dû au géomètre bolonais Iiombolli ; mais c’est Albert Girard qui a montré le premier l’utilité de l'introduction des imaginaires dans la langue algébrique. Nous allons faire voir comment l’emploi transitoire de ees symboles permet d’arriver d’une’manicre élégante et rapide à des résultats dont la démonstration directe, serait souvent fort pénible. *

Si dans l’identité

( a.& tt- Sa' )’( yS' — Sj"j

— (ay -I- a' 7*) (65 -t- 6(7') — ^ x 3 -4- a' â 1 ) (67 -t- S' 7'),

on fait . * ‘ , ■ - .

a = « 4- Ai., 7 = p -I- qi , a' = — c — di; ' 7'.== •* — r 4 - ,

S = c -4- di t 5 *= r -+- si, S' = a — bi , ? — p — qi ,

on obtient la relation

(rt 1 -F- t 5 -t- c 3 +'d‘) (p* -h q ‘ + r 1 .r’) •

== (pa — qb rc — frf)’ -+- (qa 4- qb — sc — rdf •4 - [ra — sb — pc 4- qd )■ -+■ { sa 4 - rb -H- qc -f- pdf.

qui exprime que le produit de deux sommes de quatre carrés est encore une somme de quatre carrés.

Ge théorème est dû à Euler, mais la démonstration précédente est de M. Hermite. • ’

140 . Ce qui rend légitime l’temploi transitoire tics imaginaires.

RADICAUX.: IMAIÎ1NA1RKS. 1 l'i

c’est que les relations d’où l'on part n'expriment <pie des faits dé combinaison .

-Pour éclaircir cette idée, prenons un exemple simple. Soient

quatre facteurs égaux deux à deux ; on obtient leur produit eh multipliant indifféremment le produit de deux quelconques d’entre eux par celui des deux autres, et l’on a

(aà) (a' a') = jaj 1 ) (aa' ). '

Cette égalité exprime un fait indépendant de toute propriété des grandeurs; elle e$t la traduction algébrique d’un principe qui résulte seulement de ce que la multiplication est une combinaison dans laquelle les facteurs entrent symétriquement ; et pour que ce principe subsiste, il n’est pas nécessaire qu’on attache un sens arithmétique ù cette combinaison , ni par suite que les facteurs représentent des nombres réels. On peut donc 'poser

a. — a -h i)i , x' = a — bi ,

et l’égalité primitive devient

(« -+ bi) 1 (« — bi) 1 = [(•« ■+■ bi) (a — èr)]’,

(n- — b 1 ■+■" 2 abi) [a 1 — b 1 — inbi) =' ( a 1 -4- b 1 ) 1 ,

d’où l’on voit que, si un nombre de In somme est deux carrés, son carré joui/ rie bi même propriété. ' , * • . • * •

Nous dirons donc avec M. Poinsot :

« 11 y a une algèbre supérieure qui repose tout entière sur la "» théorie de l’ordre et des combinaisons, qui s’occupe de la » nature et de la composition des formules considérées er. elles- » mêmes, comme de purs symboles et sans aucune idée de valeur » ou de quantité. C’est à cette partie qu’on doit rapporter la fhéo- » rie profonde* des équations, eèlles des expressions imaginaires, » et tout l’art des transformations algébriques; et c’est même celte » seule partie élevée de la science qui mérite, à proprement », parler,- le'nom A' Algèbre. ».

13>8 r.HAPtTRF. D1XIKMK. BAUICAUX J IMACtSAJBES.

EXERCICES