Soit l’équation générale ( i ) ax 1 -+- bx -+• c = o
on peut toujours supposer a différent de zéro, puisque, si a était nul, l’équation serait du premier degré. Dès lors, en multipliant par 4 a, on n’altère pas les conditions imposées à l’inconnue, et la nouvelle relation
4<J’x’ -+- l^abx -f- 4 oc = o avant scs deux premiers termes égaux à ceux du carré ( 2 ax -+- b) 7 — 4 n’x 1 l\abx b ’,
]>eut être mise sous la forme
ou
( 2 ) ( 2 ax -+• by= b 7 — 4 ac -
aux ■+■ b est donc égal à tous les nombres dont le carré est b‘ — 4 ac - Il peut se présenter trois cas :
i°. Si b 1 — 4 ac est y> o, il y a toujours deux nombres et il n’y en a que deux
qui ont b 1 — 4 «c pour carré ; par conséquent l’équation ( 3 ) tient lieu des relations
mx -+- b = ■+■ y/Â 1 — 4oc, iax b = — y tb 2 — \ac t
qui donnent
— b -+- y ! b* — 4 ne
\Jb- — 4 '
•la la
L’équation (t) a donc deux racines réelles et inégales lorsque b 1 — 4 ac est positif.
a". Si b • — 4 oc est nul, l’équation ( 2 ) se réduit à (2dx -t- 6 ) ! = o on 2iix-)-fc = o;
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ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ A UNE INCONNUE
de sorte que l’inconnue x n’a qu’une valeur
la
Néanmoins on dit que, dans le cas de b 1 — 4 nc = o, l’équation ( 2 ) a deux racines égales.
3°. Lorsque b ' — \ac est négatif, l’équation (a) n’admet pas de solution positive ou négative, car le premier membre, qui est un carré parfait, ne peut être égal à un nombre négatif.
Cependant, on confient de dire que l’équation { i ) a deux racines représentées par la formule
— b ± y 6’ — 4 oc
et que ces racines sont imaginaires..
Il est facile de vérifier qu’en substituant ces expressions à l’inconnue, on rend l’équation (î) identique, pourvu qu'on traite ces racines carrées des nombres négatifs d’après les règles ordinaires de l’Algèbre , et qu’on regarde leurs carrés comme s’obtenant par la suppression du radical. Il en serait de même si, au lieu de
^ h' — 4 nr i
on écrivait
y/4 oc — b‘ y — i ;
et c’est ce que l’on fait ordinairement, afin que la seule quantité imaginaire à considérer dans les calculs soit \j — i . Les valeurs dex prennent alors la forme
et l’on opère sur de telles expressions comme si ^ — i était un nombre ordinaire ayant pour puissances successives
v’— i, —i, — -ht, V— «, —
L’introduction des imaginaires dans la langue algébrique permet ici d’énoncer ce théorème général :
Une équation du second degré
-Diûi
i32 chapitre onzième.
a toujours deux racines réelles ou imaginaires données par la formule
— b rfc \lb‘ — 4 ac
149. On« souvent à résoudre des équations de la forme x’ -+■ px -4- 7 = o ,
c’est-à-dire des équations du seoond degré , dans lesquelles le coefficient de x 1 est l’unité. On peut d’ailleurs, si l’on veut, ramener l’équation générale
' a.r. •’ bx - 4 - c — o
à cette forme , en divisant par a.
En appliquant la formule générale à l'équation
x’ - 4 - px - 4-7 = 0 ,
on trouve
— pdz^p' — 4 'l — />..//>’
*= r — ~ ou x =-r ± V 4 <7 '
Il peut se faire encore que le coefficient b de x soit divisible par z r c’est-à-dire égal à i b‘ ; les racines de l’équation
ax 1 - 4 - 2 b' x - 4 - r = o
prennent la forme
— 2 . b' ± v4 b' 2 — 4 ar a — b'dtzsjb' 7 — ac
ou x =
