Théorème II. — Le trinôme

ax 7 -+- bx -4- c

est rie meme signe que son premier terme, excepté lorsque l’équation ax 7 4- èx 4- e = o

a ses racines réelles et que x est compris entre ces deux racines.

On dislingue trois cas, suivant que l’équation

ax 7 - 1- bx 4- e= o

a ses racines imaginaires, réelles et égales , ou réelles et inégales. i°. Lorsque les racines sont imaginaires, en les désignant par

a 4- § ^ — I et a — 6 \/ — i

on a

ax 7 -f-Zur + c= a[x — (a 4-6 y* — i ) J [x — ( a — 6 \/ — i)]

Le trinôme est alors le produit de a par la somme de deux carrés , il est donc, quel que soit x, de même signe que a.

2 °. Lorsque b 7 — 4 ac est ni, l > c’est-à-dire lorsque les deux ra cines x' et x" de l'équation

ax 7 + Èr + c = o

sont égales , on a

ax 7 -+- bx 4- c — a ( x — xé ) 5 ;

et l’on voit que tout nombre substitué à x rend le trinôme de même signe que a.

3°. Enfin, quand les racines x' et x" sont réelles et inégales, on a

ax 7 4- bx 4- c = a (x — x') (x — x"); tout nombre compris entre x' et x" rend les facteurs x — x', x — x"

de signes contraires; le produit de ces binômes est donc négatif,

et l’expression

est de signe contraire à a.

Tout nombre supérieur à la plus grande des racines x', x", ou inférieur à la plus petite, rend les facteurs

de même signe; le produit de ces binômes est donc positif, et le trinôme

a le signe de a.

189. Ce théorème est très-utile; il permet de trouver les valeurs de x pour lesquelles un trinôme du second degré est positif ou négatif.*

Soit , par exemple , le trinôme

l’équation 3.x 3 — ax — 65 = o ayant pour racines 5 et —y»

on doit conclure que le trinôme proposé est positif pour toutes les

valeurs de x supérieures à 5, ainsi que pour les valeurs de x in-

férieures à — ; il est négatif pour x compris entre 5 et — •

Le trinôme

— x 3 -+- 3 x — 7, qui donne lieu à une équation

dont les racines sont imaginaires, est toujours négatif, quel que

équations du second degré a une iNciJÜfouE

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