INSERTION OE MOYENS ARITHMÉTIQUES

204. Insérer p — i moyens entre deux nombres a et l, c’est former une progression arithmétique de p + 1 termes dont a et l soient les extrêmes.

Le problème cousiste à trouver la raison x de cette progression ; or / étant le (p + 1 )*'"* terme , on a

d’où

/ = a + px ,

Donc la raison de la progression formée par l'insertion de moyens entre deux nombres s’obtient en divisant ta différence de ces nombrespar le nombre des moyens plus un.

Exemple. — On veut insérer 8 moyens entre 1 cl 1 00 ; la raison sera

= ii,

et la nouvelle progression contiendra les nombres

208. Théorème I. — Une progression arithmétique de raison r étant donnée, si l'on insère un meme nombre p — 1 de moyens entre chaque terme et le suivant , on obtiendra une suite de progressions partielles dont l’ensemble formera une progression unique.

D’abord toutes les progressions partielles auront même raison —■>

et comme le dernier terme de chacune d’elles est le premier de la suivante, elles formeront une seule et même progression.

206. Théorème II. — Pour insérer pp ’ — 1 moyens entre deux nombres donnés a et /, un peut : soit insérer d ’ abord p — 1 moyens entre ces nombres et insérer ensuite p ' — 1 moyens entre chaque

PA0CBFSSI0NS.

terme de la progression obtenue et le suivant; soit insérer d'abord p ' — 1 moyens entre a et l, et insérer ensuite p — 1 moyens entre les divers termes de la progression ainsi obtenue.

En effet, la raison de la progression qn’on obtient en insérant pp ' — 1 moyens a pour expression

qu’on peut écrire des deux manières suivantes :

Or on trouve évidemment la première en insérant. d’abord p — 1 moyens entre a et / , et puis p' — i moyens entre les divers termes delà progression obtenue. On trouve, au contraire, la seconde en insérant d’abord p' — 1 moyens entre les nombres a et /, et puis p — 1 moyens entre chaque terme de la progression obtenue et le suivant.

Le théorème est général , et pour insérer pp' p" . . . — 1 moyens entre deux nombres, on peut insérer d’abord p — 1 moyens entre ces nombres, puis// — 1 moyens entre les termes de la progression obtenue, puis p" — 1 entre chaque terme de la nouvelle progression et le suivant, etc.