VALEUR D’UN TERME DE RANG QUELCONQUE

208. Théorème. — Un terme quelconque est égal au premier multiplié par une puissance de la raison ayant pour exposant le nombre des termes qui précèdent.

Car, si l’on désigne le premier terme par a , et la raison par q, le second terme est aq, le troisième aq % le quatrième aq 3 , . . et en général le c’est-à-dire celui qui a n — i termes avant lui, est aq"—'.

209. Corollaire. — Dans une progression géométrique croissante, les termes finissent par surpasser tout nombre donné.

En effet, soient X-, /, m trois termes consécutifs quelconques , on a

/ — Aq, m = Iq, ni — l =. [I — A ) q, et, par suite, puisque q est plus grand que i , m />/ A.

L’excès d’un terme sur le précédent va donc en croissant; or nous avons vu qu’il suffisait que cet excès fût constant pour que les termes finissent par dépasser toute limite.

Il suit de là que dans une progression géométrique décroissante les termes peuvent devenir moindres que toute grandeur donnée; car, si la progression

a, aq, aq 7 ,..., aq", aq"* 1 ,.. .,

est décroissante, la progression

i ii ti

est croissante; les termes

ii ii

peuvent donc devenir aussi grands qu’on veut, et, par suite, les dénominateurs

aq", aq n+l , . . .

tendent vers zéro.

ii il

PROGRESSIONS iqi

En particulier, les puissances entières et positives d' un nombre plus grand que i croissent au delà de toute limite , et les puissances entières et positives d'un nombre inférieur à i tendent vers zéro.