Soient deux progressions croissantes et indéfinies

l’une arithmétique, commençant par zéro, l'autre géométrique, commençant par 1 .

• Insérons p — 1 moyens arithmétiques entre chaque terme de la progression (i) et le suivant; insérons de même p — 1 moyens géométriques entre les divers termes de la progression (2); nous obtiendrons deux nouvelles progressions dans lesquelles les termes des progressions primitives se correspondront. Il est facile de démontrer qu’on peut toujours prendre p assez grand pour que les termes des progressions nouvelles croissent par degrés insensibles.

En effet :

1 °. La différence entre deux termes consécutifs quelconques de la nouvelle progression arithmétique est égale à la nouvelle raison r r

-1 et pour que - soit moindre qu’un nombre donné t, il suffit P P

que p soit plus grand que -•

2 0 . Soient M tin terme quelconque de la nouvelle progression géométrique dont la raison est y 7, et C un nombre fini supérieur à M, la différence de deux termes consécutifs

M ^ iÿ — M = M(^7 — t)

est moindre que

CHAP1TBK SKI/.lfc.Uh.

il suffit donc de prouver que l’on peut toujours satisfaire à l’inégalité

Or il résulte du théorème 209, que l’on peut toujours prendre p assez grand pour que |t surpasse tout nombre donné <7.

221. F,n désignant par X et 1 -+- a les raisons des deux nouvelles progressions, on peut écrire

X et a étant des nombres aussi petits que l’on voudra.

Actuellement nous allons définir le logarithme de tout nombre N positif et (dus grand que 1 .

Si le nombre N fait partie de la progression (2'), c’est-à-dire peut être introduit dans la progression (2) par l’insertion de moyens, son logarithme est le terme qui occupe le même rang dans la progression ( 1 '). Aussi «X est le logarithme de ( 1 -t- a)*.

Si le nombre N ne peut pas être introduit dans la progression géométrique (2), il 11e fera pas partie de la progression (2'), mais il sera compris entre deux termes consécutifs, tels que (1 -+- a)% ( t -t- a)" 44 ; car la raison 1 -t- a étant supérieure à 1 , les termes de la suite (2') croissent au delà de toute limite (209). En substituant à N l’un quelconque des deux termes qui le comprennent , on commettra une erreur moindre que la différence de ces termes, c’est-à-dire aussi petite qu’on voudra.

Le nombre N étant la limite commune des termes (1 -f- a)", (1 -t- a)* 4 " 1 , son logarithme est , par définition , la limite commune «les logarithmes «X, (n -f- i)X de ccs deux termes; et, en prenant soit «X, soit (« -+- i)X pour le logarithme de N , on aura de ce logarithme une valeur aussi approchée qu’on voudra, puisque l 'erreur commise sera moindre «pie la raison X , qui peut être diminuée à volonté.

THEORIE DES LOGARITHMES

222. Les mêmes raisonnements s’appliquent au cas où le nombre positif N est moindre que 1 ; il suffit de concevoir les deux progressions (i') et (2') continuées de droite à gauche de manière à avoir le système complet

(2")..., (i-f-a)- 3 , (i+a)-’, (i+a)-', 1, (iH-a) 1 , (i-4-a)% (i-H*) 1 , — -

Le logarithme du nombre N positif et inférieur 1 sera, par définition , la limite commune des termes — n\, — (/t+i)X,qui correspondent aux termes (1 -+- a) - ", (1 -1- a)~î n+l >, dont N est la limite commune.

Les nombres négatifs n’ont pas de logarithmes.

225. Les progressions (1) et (2) qui nous ont servi de point de départ sont assujetties à la seule condition d’avoir o et 1 pour termes correspondants. Comme on peut se procurer une infinité de systèmes de deux progressions jouissant de cette propriété, il existe une infinité de systèmes de logarithmes. Le logarithme d’un nombre isolé reste donc arbitraire tant qu’on n’a pas indiqué les progressions qui déterminent le système particulier de logarithmes qu’on a en vue.

Enfin , pour légitimer la définition des logarithmes et montrer qu’elle n’est pas contradictoire, il reste à établir que, si ton peut introduire un même nombre Pi dans la progression (1 ) en insérant deux nombres différents p — 1, p' — 1 de moyens, on trouve dans les deux cas le même logarithme pour ce nombre. Or il résulte des n os 206 et 2li$ que les valeurs obtenues dans les deux cas pour le logarithme de N ne diffèrent pas l’une et l’autre de celle que fournirait l’insertion directe de pp’ — 1 moyens entre les divers termes des deux progressions,

PROPRIÉTÉS DES LOGARITHMES

224. Le logarithme d'un produit est égal à la somme des logarithmes des facteurs.

Considérons d’abord un produit de deux facteurs. Le théorème est évident, si les deux facteurs font partie delà progression géo-

CHAP1TKK SEIZIEME.

métrique ( 2 " ). Soient , en effet ,

les deux facteurs : le logarithme du produit (1 4- a)/ ,+ î est

c’est-à-dire la somme

ps + q\

des logarithmes des deux facteurs. Dans le cas où les deux nombres P et Q ne peuvent être introduits dans la progression géométrique, on pourra toujours, en insérant un nombre suffisant de moyens, trouver deux termes (i-t-a)f, (i-t-a)î, qui différeront aussi peu qu’on voudra de P et de Q ; et si l’on étend aux limites l’égalité

1°6 [(* -+- a ) p ( ! + a)f] = log(i4- <z)P 4- log(i -t- <x)i, on obtiendra

log PQ — log P 4 - logQ.

Considérons maintenant un nombre quelconque de facteurs; on a successivement

log ( PQRS ) = log ( PQR ) 4- log S

= log (PQ) 4- log R 4- log S = log P 4- log Q 4- log R 4- log S.

Cfc qu’il fallait démontrer.

225. Zc logarithme d’un quotient est égal à l’excès du logarithme du dividende sur le logarithme du diviseur.

En effet, en représentant par q la valeur du quotient on a

a — bq, log a = log b 4- log q,

et, par suite,

log a — log b — log q.

226. Le logarithme d’une puissance d'un nombre est égal au logarithme de ce nombre multiplié par l’indice de la puissance.

Soit a m la puissance; il y a trois cas à distinguer, suivant que l’indice est entier, fractionnaire ou négatif.

THEORIE DES LOGARITHMES

i°. Si m est entier, on a

a m = a .a .a .a . . . ( m fois), log a m — log« -+- logn +• • • (m fois) = m loge/.

a". Si m est fractionnaire et égal à - » en désignant par a la valeur de a”, on a

aP = al, p log a — rf log a , log a = — log a , ou

log a" = m log a.

3°. Enfin , si m est négatif et égal à — n, on a

log a” = log — = log i — log a" = — n log a = m logo.

287. On voit, d’après cela, qu’une Table de logarithmes permettrait de simplifier beaucoup les calculs; les multiplications, divisions, formations de puissances, extractions de racines seraient remplacées respectivement par des additions, soustractions, multiplications et divisions.