ARRANGEMENTS

264. Soient, par exemple, les quatre lettres a, b,c, d. Pour former leurs arrangements deux à deux, il suffit d’écrire successivement à la droite de chacune d’elles les trois autres; on trouve ainsi

ab,

bu,

ca,

du,

ac,

bc,

cb,

db.

ad,

bd,

cd,

de.

On obtient les arrangements trois à trois en écrivant successivement à La droite de chacun des arrangements deux à deux les deux lettres qui n’en font pas partie. Ces arrangements sont

abc.

acb,

adb ,

bac.

bca,

bda,

a bd.

acd,

ade.

bad.

bed.

bile,

en b,

cba.

eda,

dab.

dba.

dca,

cad,

eda.

rdb,

dac,

dbc.

elcb.

On continuerait de même.

En général , pour former les arrangements n à n île m objets, il faut placer successivement à la droite de chacun des arrangements n — i à n — i les m — (« — i) objets qui n’y entrent pas. En effet: i°on forme bien ainsi tous les arrangements n à. n; car tout arrangement de n objets se compose du dernier objet précédé d’un arrangement formé avec les n — i autres; 2° aucun arrangement n'est répété, puisque deux quelconques des groupes ainsi obtenus diffèrent, soit par le dernier objet, soit par l’ensemble des n — t premiers objets.

D’après cela, désignons en général par A’" le nombre des arrangements de m objets n à n. Puisque chaque arrangement n — 1 à n — i fournit m — (« — i) arrangements n à n , on a la relation

qui, pour n = 2, 3 , 4 > • • • > donne successivement

A;= ('« — 3 ) A", ... , A" = («I — n -Ht) a;,.

En multipliant et observant que A” = m , on obtient la formule A"= m (m — i) (m — 2 ). . . ( 111 — n -H i)>