NOUVELLE DÉFINITION DES LOGARITHMES

292. Lorsqu’on a la relation a* = y dans laquelle a est un nombre positif, on dit que x est le logarithme du nombre y dans la base a. A chaque valeur de la base a répond un système rte logarithmes.

Cette définition assigne un logarithme et un seul à tout nombre positif, car on sait que , lorsque x croît de — oo à -+- ao , a ‘ passe par toutes les valeurs positives, et ne passe qu’une fois par chacune d’elles.

Dans tout système, le logarithme de l'unité est zéro, et celui de la base est i ; car

Lorsque la base est plus grande que l’unité, les nombres plus grands que i ont des logarithmes positifs, les nombres plus petits que i ont des logarithmes négatifs. Le contraire a lieu lorsque la base est moindre que l'unité (287 ).

Enfin , les nombres négatifs n’ont pas de logarithmes.

PROPRIÉTÉS DES LOGARITHMES

295. Le logarithme du produit de plusieurs nombres est égal à lu somme des logarithmes de ces nombres.

Soient, en effet, x, x', x",.. , les logarithmes des nombre*

y > y' » y" >• .;ona

tri— y, a*=zÿ, a*' — y",. ., d’où , en multipliant ,

la somme x -4- x'-+- x"-f- ... est donc bien le logarithme du produit y y' y " . ...

Le logarithme du quotient de deux nombre.'! est égal h la différence des logarithmes de ces nombres.

Soient, en effet, x et x/ les logarithmes des nombres y et y'\ on a

d’où, en divisant,

donc x — x' est le logarithme de — -

Le logarithme de la puissance /!“'** d'un nombre est égal, quel que soit n ( entier ou fractionnaire , positif ou négatif), au produit de n par le logarithme de ce nombre.

En effet, en élevant à la puissance n les deux membres de l’équation

qui exprime que x est le logarithme de /, on trouve la relation

qui montre que nx est le logarithme de y".

Il résulte de là que, si des nombres a , aq, aq’ 1 ,.. . sont en progression géométrique , leurs logarithmes

loga, log a log q , loga-)-2log«7,. ..

forment une progression arithmétique ; c’est la propriété que nous avons prise pour point de départ dans le chapitre XVI.