Corollaire. — Lorst/uc x croit d’une manière continue

de — 00 à -+- 00 , la fonction a x passe par toutes les valeurs po~ sitivcs , et ne prend qu 'une fois chacune d’elles.

U y a deux cas à distinguer :

i°. Supposons a supérieur à l’unité , -+- a x , nul pour x = o , devient infiniment grand pour x = 00 (209); donc, en vertu de Ja continuité , lorsque x croît de o à 1 -+• 00 , la fonction a x passe par tous les nombres compris entre 1 et -+- co . Donnons maintenant à x des valeurs négatives , et posons , à cet effet,

on aura

quand x 1 croit de o à -4- 00 , a*' croît d’une manière continue de 1 à -+- 00 , en sorte que u x décroît de 1 à o. Ainsi , en résumé , lorsque x croît d’une maniète continue de — 00 à -1- 00 , la fonction a x passe par tous les nombres compris entre o et -t- ao ; d’ailleurs, comme elle va constamment en augmentant, elle n’acquiert qu’une fois chacune des valeurs positives.

2 0 . Si a est moindre que l’unité , on pose

a' étant supérieur à 1 , et la relation

montre que lorsque x croît d’une manière continue de — 00 à 4- 00 , a' x varie de o à + 00 , en sorte que a x passe successivement par toutes les valeurs positives , et une seule fois par chacune d’elles.

DÉFINITION DE a», LORSQUE x EST INCOMMENSURABLE.

291. Les considérations précédentes permettent de définir a x lorsque r est incommensurable. Prenons, pour fixer les idées , tt v ' , et rappelons, en peu de mots , la définition de

L’arithmétique donne le moyen d’obtenir le plus grand nombre de dixièmes, de centièmes, etc., dont le carré soit contenu dans un nombre entier donné. On trouve ainsi, par des procédés connus(*), que le nombre 7 est supérieur aux carrés des nombres

et inférieur aux carrés des nombres

La différence entre l'un des nombres de la suite (1) et le correspondant de la suite (2) peut devenir moindre que toute quantité assignable , et il en est de même de la différence des carrés de ces nombres. I,es carrés des nombres (1) et ceux des nombrés (2) s’approchent donc indéfiniment du nombre 7 qui est, pour ces deux suites de carrés, une limite commune. Les suites (i)et(2) ont elles-mêmes une limite commune , et cette limite est ce que l’on nomme la racine carrée de 7 . Les nombres qui forment les suites (t) et (2) sont les valeurs de ^7> à une unité près, à un dixième près, etc. , par défaut ou par excès.

Actuellement, si dans a 1 on remplace x par les valeurs approchées de \J 7, on obtiendra deux séries de nombres qui se rapprocheront de plus en plus, et qui auront une limite commune; car deux quelconques d’entre eux, correspondant à deux valeurs

de approchées par défaut et par excès à moins de différeront d’aussi peu qu’on voudra ( 289 ) , puisque la différence — ^ de leurs exposants diminuera à volonté à mesure qu’on

fera croître n. Cette limite commune est précisément la valeur de n* 1 ’".

On peut montrer très-clairement que cette définition assigne à n 1 ' 1 une valeur unique et déterminée. Supposons, en effet, qu’on porte sur une même droite , à partir d’une origine fixe ,

( *) Sbuiiet, KUnn nls d Arithmétique , chai». XIII.

266 CBAriTRE VINGTIÈME.

des longueurs égales aux valeurs de ci'; les segments correspondants au cas où x est remplacée par les valeurs par défaut de y / 7 auront leurs extrémités dans une certaine région , et les segments correspondants au cas où x est remplacée par les valeurs par excès de se termineront dans une autre région. Le théorème I montre que ces deux régions sont entièrement séparées , et le théorème II , que l’intervalle qui les sépare n’a pas une étendue finie. Il ne peut donc exister entre ces régions qu’un simple point de démarcation, et c’est la distance de ce point à l’origine qui est mesurée par a/* .