RÉCIPROQUE DE LA PROPRIÉTÉ FONDAMENTALE DES LOGARITHMES

298. Log x est la seule fonction de x qui jouisse de la propriété exprimée par la relation

f[*y) =/(*)-»- /Cr)-

En effet, en remplaçant successivement dans cette égalité y par x, x 5 , x 3 , . . . , on trouve

/(x’)=/(x)+/(x’) = 3/(x), f(x') =/(x) +-/(x 3 ) = 4/(x), et, en général, m étant un nombre entier positif,

x étant un nombre positif quelconque, on peut toujours poser (229)

x — e‘ , d’où z =/.x;

il vient alors

/(<■*") = mf(e‘).

LOGARITHMES COÏTS inB RÉS «p.MME EXPOSANTS. 26t)

Le premier membre est systématique par rapport à ni et à z; le second ne doit donc pas être altéré par la permutation de ces deux lettres , et l’on a

d’où

f[x)— k.l.xxz logx, dans une base quelconque.

EXERCICES

I. Trouver la fonction f(x), qui est definie par l’une des relations suivantes :

/(*) -f-/(r) = /(* 4 - y), f(x).S(y)=f(x + y), f(x)./(y)=f(xy).