Soit une équation de la forme

si .r, est une valeur approchée de x, on aura, à peu près, ■*=/(*!)•

Désignant cette valeur par x, et substituant de nouveau, on obtient une troisième valeur

qui en fournit une quatrième

et ainsi de suite. Les nombres

ainsi trouvés forment une série qui parfois converge très-vite vers la valeur exacte de x.

297. Pour voir si la méthode est applicable, désignons par x, h la vraie valeur de la racine, on aura

et l’erreur x — x, de la valeur suivante x,=y(x,) aura pour expression

ou, en développant et ordonnant par rapport à h ,

GAI. COIS ROMÉB IQOF.S. 2^1

Cette erreur est donc à fort pou près égale a A/i, et pour que .r, soit plus voisin de .r que x , , c’est-à-dire pour que la méthode réussisse, il faut que A soit moindre que l’unité.

RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION ax' -t- bx -t- c = o LORSQUE a EST TRÈS-PETIT PAR RAPPORT A 4 ET A c.

298. Lorsque n est très-petit par rapport à b et à c, le radical y Ib* — 4 ac diffère très-peu de zéro, et pour avoir une valeur approchée de la racine

— b zt \j b * — 4 ~ c

il faudrait pousser très-loin l’extraction de la racine carrée de

b' 1 — 4ac. D’ailleurs le facteur — étant très-grand , à une petite

erreur commise sur le numérateur répond une erreur notable sur •r. Aussi dans ce cas, pour résoudre l’équation

ax 1 -t- bx -+- c = o ,

a-t-on recours à la méthode des approximations successives. On

ne s’occupe d’ailleurs que de la racine qui tend vers — ^ ; on obtient ensuite l’autre, qui est très-grande, en retranchant la pre-

miere de

299. Avant de commencer, faisons une remarque importante. Soient

les puissances successives d’une fraction , et

des nombres qui ne soient pas très-grands, ou plutôt tels, que les fractions

iii i