PRODUIT DE PLUSIEURS POLÏXOMES

30. On obtient le produit de plusieurs polynômes en multipliant le premier par le second , le résultat par le troisième, et ainsi de suite.

• 31 . Le carré d'un polynôme est égal à la somme des carrés de

ses différents termes augmentée de leurs doubles produits.

La formule connue

(a -f- b) 1 — a’ />’ -f- 2 a b montre que le théorème est vrai pour un binôme.

Pour un trinôme , on a

(a -f- b -f- c)’= (a -4- b)* c’ -+- a (a 4- b) c — a 7 -+- b' -f- 2 a b + c’ -f- 2 ac 4- 2 bc , ou

(a -J- b -H c) 1 = a 1 -f- ô’ + c’ -4- 2 ab -4- 2 ac +- 2 ic,

qui est encore conforme à l’énoncé.

Pour prouver la généralité de cette loi, il faut montrer que, si elle s’applique à un polynôme de n termes, elle subsiste pour un polynôme de n -4- i termes.

Soient donc

a-4-ô-4-c-4-...-4-ô- y- k un polynôme de n termes , et

et + b -f- c -J* . . . + h -f- k -4- / un polynôme de n -f- i termes. On a

Or le carré (a -4- b + c - 4 -. . . -4- h -4- X )’ contient par hypothèse les carrés de a, b, c,.. ., h, k, et tous leurs doubles produits. Si donc on lui ajoute le carré de l et les doubles produits de a,b,c,...,/t,k par l, on aura bien les carrés de tous les termes de a + b-\-c-\-...-\-h + k-^-l, ainsi que tous leurs doubles produits. ’

Donc , si la loi s’applique à un polynôme de n termes, elle subsiste pour un polynôme de n -f- i termes; et comme nous l’.1vons vériûée pour un binôme et un trinôme, nous pouvons conclure qu’elle est encore vraie pour un polynôme de quatre termes; par suite elle s’applique à un polynôme de cinq termes, etc.

On écrit souvent le théorème précédent sous la forme symbolique

(«-f- i+c + ...+ /)’ =2 a 7 + nïab,

le signe 1 indiquant qu'il faut faire la somme de tous les termes semblables à celui que ce signe affecte.