Théorème. — Quand deux polynômes

Ax i 4-,B.r'4- Car 1 4- Dx J 4- Ear 4- F, ax' bx 3 4- c.r’ 4- dx 4- e ,

sont ordonnés par rapport aux puissances (ici décroissantes) d’une même lettre x, le premier terme de leur produit , ordonné de la même façon , provient sans réduction de la multiplication des premiers termes des deux facteurs.

En effet, dans un produit partiel quelconque , tel que

Bx‘ . r.r’ = Bcjr ,+, = Bcx 4 ,

l’exposant de la lettre ordonnatrice est la somme des exposants que cette lettre possède à la fois dans le terme du multiplicande et dans le terme du multiplicateur qui ont fourni ce produit.

Le produit des deux premiers termes sera donc irréductible, puisque dans ce produit l’exposant de x, étant la somme des deux plus forts exposants, sera plus grand que dans tout autre produit partiel.

On démontrerait de la même manière que le dernier terme du produit provient sans réduction de la multiplication des derniers termes des deux facteurs.

D’où il suit que le produit de deux polynômes ou d’un polynôme par un monôme a au moins deux termes.

28. Quand les polynômes contiennent plusieurs lettres, le théorème précédent fait souvent connaître plus de deux termes irréductibles du produit.

Ainsi, en ordonnant par rapport à x les polynômes x 3 — lyxé 4- x 4- y 3 ,

on trouve les deux termes irréductibles

x” et y 3 .

Si l’on ordonne, au contraire, les deux polynômes par rappoit à

MULTIPLICATION

y y les termes irréductibles du produit sont .r* et 4 •9'**

Le produit aura donc au moins trois termes x\ f, 4 XJ’.

Comme exemple d’un produit qui se réduit à deux termes, nous citerons

(x — a) (x'' 1-1 -f- ax'”~ J -f- a’x" 1-3 a"' - ’ x -J- a” -1 ) = x™ — a”'.

29. Nous n’avons parlé jusqu’ici que du degré par rapport à une lettre; on considère souvent le degré total.

Le degré d’un monôme entier est la somme des exposants des ^ lettres qui entrent dans ce monôme ; et le degré d’un polynôme entier est le plus haut degré des termes qui le composent.

Un polynôme est homogène quand tous scs termes ont le meme degré ; ainsi le polynôme

x' -f- ax 3 -h 2 a 3 x 3 -+- 4 a 3 x -1- a* est homogène et du degré 4-

Théorème. — Le produit de deux polynômes homogènes est un polynôme homogène dont ie degré est égal à la somme des degrés des deux facteurs.

En effet, tous les produits partiels doivent avoir même degré, puisque le degré de chacun d’eux est la somme des degrés d’un terme du multiplicande et d’un terme du multiplicateur, et que chacun de ces facteurs a tous ses termes de même degré.