Les formules générales

A-f-(a+ô — c-yd — c-yf) — K-ya-yb — c-yd — e -f -f K A — [a -y b — « c -y d — c -y f) — A — a — b -y c — d -y c — j, deviennent, dans le cas d ca = b=d = c= f — o,

et elles expriment alors les règles d'addition et de soustraction d'un nombre isolé précédé du signe — . Un tel nombre ( — c ) est dit négatif; par opposition, on dit que les nombres ordinaires sont positifs ( ponatur una res). On doit ces dénominations à Viète.

Un nombre négatif est dépourvu de toute signification relative à la mesure des grandeurs ; c'est un pur symbole introduit en algèbre dans un but de généralisation.

56. Les formules ( 1 ) et ( 2 ), une fois admises pour des valeurs positives de c, s’étendent par cela même au cas où c aurait une valeur numérique négative.

Soit, en effet, c = — c' ; la formule ( 2 ), appliquée au nombre positif c', donne

A — ( — c') =s A + c' et , en remplaçant — c' par c,

qui est la formule ( 1 ) étendue au cas de c négatif.

De même la formule ( 1 ), appliquée au nombre positif c', donne

A •+• ( — c') — A — c' et, en remplaçant — c' par c,

qui est la formule ( 2 ) étendue au cas de c négatif.

37. Ainsi, dans tous les cas, ajouter — c revient à retrancher c, et retrancher — c signifie ajouter c; il suit de là qu’on peut regarder un polynôme comme une somme de termes ajoutés les uns aux autres en désignant par le mot terme l’ensemble du signe et du nombre que ce signe affecte. Les deux expressions

ff + J + (-c) + if+(— c) +f,

sont, en effet, équivalentes d’après nos règles; un pareil résultat prend particulièrement le nom de somme algébrique.

38. Supposons qu’on mette un polynôme en nombres, et soient I* la somme des termes positifs, N la somme des termes né-

NOMBRES NÉGATIFS

gatifs; le polynôme équivaut à

Si le nombre N surpasse P et est égal à P + D par exemple, la formule devient

P-(P+ D), ou

P — P— D, ou

La valeur numérique d’un polynôme est donc représentée, dans ce cm, par un nombre négatif dont la valeur absolue est égale à l’excès de la valeur numérique des termes précédés du signe -+sur la valeur numérique des termes précédés du signe — . La définition du n° 9 se trouve ainsi généralisée, et l’on voit que , pour traduire un polynôme en nombres, il faut toujours additionner d’une part les nombres précédés du signe -f-, de l'autre les nombres précédés du signe — , retrancher la plus petite somme de la plus grande, et donnerait reste le signe de la plus forte somme.