MULTIPLICATION DE DEUX POLYNOMES QUELCONQUES

59. Des considérations analogues à celles du n° 55 montrent que la règle donnée (28) pour la multiplication de deux polynômes positifs doit nécessairement s’appliquer à tous les cas.

Les formules

Z= Cfl -f-

ad —

cb —

ab ,

— cd —

ad -+-

cb —

ab ,

= cri —

ad —

cb -h

ab.

sont donc

générales. Pour e :

= rl= o

, elles

deviennent

ab ,

ab ,

= ab ,

et elles expriment alors les règles île multiplication des nombres négatifs isolés.

40. Les relations (i), (2), (3), une fois admises pour des valeurs positives de a et de b, s’étendent par cela même au cas où a et b auraient des valeurs numériques négatives.

Parexemple, pour démontrer que la formule (3) subsiste quand a et b sont négatifs et égaux à — a' et — b on observe que cette formule, appliquée aux nombres positifs «' et b\ donne

(-«')(- b') = a’b' et, en remplaçant a' et b' par — « et — b, ab = ( — a) ( — b),

qui est bien la formule (3) étendue au cas de a et b négatifs.

41. Théorème. — Un produit est positif ou négatif, suivant que le nombre de ses facteurs négatifs est pair ou impair.

En effet, introduisons le nombre (4- 1) comme premier facteur, le signe, qui est d’abord -4-, change chaque fois qu’on rencontre un facteur négatif; il sera donc à la fois -I- ou — suivant que le nombre des changements de signe, c’est-à-dire le nombre des facteurs négatifs, sera pair ou impair.

Corollaire. — Les puissances paires d’un nombre négatif sont positives, et les puissances impaires négatives.

m vision

42. Le dividende, étant le produit du diviseur par le quotient, a le même signe que le diviseur ou un signe contraire , suivant que le quotient est positif ou négatif. Donc le quotient a le signe -4- ou le signe — suivant que le dividende et le diviseur ont le même signe ou des signes contraires.

Ainsi

NOMBRES NÉGATIFS

EXERCICES