II. Démontrer les inégalités

■ryz >(x4-r — î)(x + !-;)(;4-8 — x), a (x* 4- J 3 4- 2') > xj 4- xz 4- J* ,

3 (x 3 4- j 5 4- z’ 4- a’) xj 4- xz 4- .ru 4- jz 4- jw 4- zu.

III. Lorsque l’on considère une suite de termes affectés des signes 4- et — , on dit qu’il y a variation ou permanence toutes les fois que les signes de deux termes consécutifs sont différents ou sont

3a CHAPITRE QUATRIÈME. NOMBRES NÉGATIFS.

les mêmes. Ainsi le polynôme

X 3 3 X 1 Îi' + I 1 — x — i

présente trois variations et deux permanences. Cela posé, si l’on désigne par a un nombre positif, et par P un polynôme entier et rationnel ordonné suivant les puissances décroissantes de x, mais d'ailleurs complet ou incomplet, démontrer les propositions suivantes :

i°. La différence entre les nombres de variations des polynômes P et P(x — a) est un nombre impair, et le premier est moindre que le second ;

2 °. La différence entre les nombres de variations des polynômes P et P (x -j- a) est un nombre pair, et le second ne peut surpasser le premier ;

3’. Si P est incomplet et qu’on le complète en créant le plus de variations possibles, le nombre des permanences trouvées est égal au nombre des variations du polynôme qu’on obtient en changeant x en — x dans P.