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et, en remplaçant ni' par sa valeur — w,

qui est la formule étendue au cas de m négatif.

DIVISION DES POLYSOMES.

47. 11 est rare que le quotient de deux polynômes puisse s’exprimer par un troisième polynôme, et, dans la plupart des cas, il faut se borner à indiquer la division en séparant le dividende et le diviseur par une barre horizontale ; on dit alors que la division est impossible .

Nous allons toutefois exposer la marche à suivre pour trouver le polynôme quotient lorsque la division est possible. Cette recherche repose sur les deux théorèmes suivants :

48. T h ko R F. me I. — Si deux polynômes sont ordonnés par rapport aux puissances décroissantes ou croissantes d'une même lettre, et que le quotient de leur division soit un polynôme ordonné de la meme manière, on obtient le premier terme du quotient en divisant le premier terme du divid^j^ par le premier terme du diviseur.

En effet, le dividende^etant par hypothèse le produit du diviseur par le quotient , le premier terme de ce dividende provient sans réduction (87) du produit du premier terme du diviseur par le premier terme du quotient : donc le premier terme du quotient résulte delà division du premier terme du dividende parle premier terme du diviseur.

49. Théorème II. — En multipliant le diviseur par le premier terme du quotient et retranchant le produit du dividende, on obtient > un reste qui, divisé par le diviseur, donne l’ensemble des autres termes du quotient.

En effet, en considérant le quotient comme composé de deux parties, son premier terme et l’ensemble des termes qui suivent, on voit que le produit du diviseur par le quotient, c’est-à-dire le dividende, est égal au produit du diviseur par le premier terme du quotient, augmenté du produit du diviseur par l’ensemble des

autres termes de ce quotient; l’excès du dividende sur la pre- * mière partie de ce produit est donc égal au produit du diviseur par l’ensemble des termes du quotient qui suivent le premier.

KO. Le théorème I fournit le premier terme du quotient; le théorème II ramène la division primitive à une division nouvelle, que l’on ramènera à une troisième, et ainsi de suite. On aura ainsi autant de divisions à faire que le quotient total compte de termes.