DIVISIONS IMPOSSIBLES

85. Pour qu'une division soit possible, c’est-à-dire pour que le quotient de deux polynômes puisse s’exprimer par un polynôme, il faut et il suffit que l'un des termes du quotient multiplié par le diviseur donne un produit égal au dividende partiel qui a fourni ce terme.

La condition est évidemment suffisante; car si elle est remplie, Texcès du dividende sur la somme des produits du diviseur par les divers termes trouvés au quotient est nul , c’est-à-dire que le dividende est égal au produit du diviseur par la somme des termes trouvés au quotient.

La condition est nécessaire ; car si la division est possible, on doit trouver un reste nul, après qu’on a retranché successivement du dividende le produit du diviseur par les différents termes du quotient.

Il suit de là qu’en appliquant la méthode précédente à deux polynômes qui ne sont pas divisibles l’un par l’autre, on n’obtiendra jamais un reste nul ; et dans le cas où le premier terme de chaque reste sera exactement divisible par le premier terme du diviseur, on sera ainsi conduit à une série d’opérations interminable. A quel moment pourra-t-on s’arrêter et affirmer que la division est impossible ?

On commencera toujours par déterminer le dernier terme du quotient, ce qui est facile, car on sait que, lorsque la division est possible, on obtient le dernier terme du quotient en divisant le dernier terme du dividende par le dernier terme du diviseur (27). Si donc, en formant les divers termes du quotient ordonné par rapport aux puissances décroissantes de la lettre ordonnatrice, on trouve un terme de degré moindre que le terme ainsi calculé, on pourra affirmer que la division ne peut pas se faire. De même, dans le cas de polynômes ordonnés suivant les puissances croissantes, on s’arrêtera dès qu’on sera conduit à un terme d’un degré supérieur au terme calculé.

iii. Le quotient de deux polynômes entiers P et P' contenant une même lettre x, peut toujours se mettre sous ta forme d’un

polynôme Q entier par rapport à x , augmenté (F une fraction —

as ant pour dénominateur le diviseur P' et pour numérateur un po~ lynôme R de degré moindre en x que P'; d’ailleurs cette transformation n’est possible que d'une seule manière.

Ordonnons, en effet, les deux polynômes P et P' par rapport ati.\

division. 3g

puissances décroissantes de x; si nous arrêtons la division dès que nous trouverons un reste de degré moindre en x que le diviseur, les termes obtenus jusqu’alors au quotient seront entière par rapport ii x, et nous aurons, en désignant par R ce reste et parQ ce quotient,

d’où

Si d’ailleurs la transformation était possible de deux manières, on aurait l’égalité

qui, comparée à la première, conduirait à

Q + | = Q'-t-p ou P'(Q'-Q) = R'-R.

Or ce résultat est inadmissible; car (Y et Q étant entiers en x, Q' — Q l’est aussi, et le produit P'(Q — Q') est d’un degré au moins égal au diviseur P', tandis que R' — R est d’un degré inférieur, puisque R et R' sont eux-mêmes d’un degré moindre. Exemple :

x 3 — Sj'x’-f- 6y 7 x — 2y 7 5y 7 x — iy 7

x ’ — 3yx+y 7 X x 7 — 3yx-j-y 7

Quand on ordonne autrement les deux polynômes, on obtient un nouveau quotient et un nouveau reste. Aiasi

, — 2jr a -h 6xy 7 — 3 X 7 y X 7 X : — y 7 x

y 7 — 3 xy -+- x‘ j- 7 — 3 xjr -f- x 7

D’ailleurs on passe de la transformée (i) à la transformée ( 2 ) en ordonnant le numérateur 5y 7 x — aj 5 par rapport à y et le divisant, autant que faire se peut, par y 7 — 3 xy q- x’.

DIVISION PAK jc— a.

33. Lorsqu’on divise par x — a un polynôme entier par rapport à le reste est égal à la valeur que prend le polynôme quand on y remplace x par a.

Soient, par exemple,

Aj;' + -f- Cx’ 4 - Di 4 - E

le polynôme proposé; en le divisant par x — a, on trouvera pour quotient un polynôme entier par rapport à x de la forme

et le reste R sera une quantité qui ne contiendra pas x, puisque le diviseur x — a est du premier degré en x. Ce reste sera donc toujours le même, quelque valeur numérique qu’on attribue à x. Cela posé, considérons l’égalité

Ax‘ 4- Bx J 4- Cx’ 4 - Dr 4 - E — (x — a)(«.r 3 4-6 x 3 4-7x4- 5 ) 4- R ,

le second membre n’est autre chose que le premier, écrit d’une autre façon; autrement dit, il est tel, que,- si l’on y effectuait les opérations indiquées, on retrouverait terme pour terme le polynôme du premier.membre. L’égalité précédente doit donc avoir lieu’, quelque valeur qu’on donne à x; or, pour x — a, le produit

(x — a) (ax 3 -f 6 x 3 4- y x 4- S)

s'annule, puisque le facteur x — a devient a — a ou o, et que le quotient, ne contenant pas x en dénominateur, prend une valeur finie

a o 3 4- ëa 1 4- y a 4- 3 ;

donc on a

Aa'-t- B« 3 4- Ca’ 4 - Do 4 - E = R.

Ce qu’il fallait démontrer.

<S6. Corollaire I. — Si un polynôme entier en x devient nul pour x = a , il est divisible par x — a.

Exemples :

i°. x m — a m est toujours divisible par x — a , puisqu’il devient «" — n"‘ — o pour x — et.

Division.

On vérifie ce résultat en opérant la division

X"' fl"'

.r”-f- ax m ~'

x" ,— 1 -+- ax"‘ , -t- 1- . .

-+- ax"'~' — a m — a.r m ~ 1 -f- ü l .r m ~-

Les dividendes successifs sont tous des binômes dont le second terme est — a m \ dans le premier terme , l’exposant de a augmente d’une unité, et celui de x diminue d’une unité il chaque opération. On arrivera donc ainsi aux restes

dont le dernier est nul. Le quotient est d’ailleurs un polynôme de degré m — 1 homogène , et symétrique par rapport aux lettres et a. Il mérite d’être retenu.

2 °. x"' — a"' est divisible par x a quand m est pair; car on a x -+- a = x — (— a),

et la substitution de ( — a ) à x dans x” — a m donne ( — «)"‘ — a’", qui s’évanouit lorsque m est pair. En effectuant la division, on trouve, dans ce cas,

= x a ~' — ax*-' 4- a'x"-* — ... — a"—'.

3°. x m + a"‘ est divisible par x -+- a lorsque m est impair, car la substitution de ( — a) à x dans x m -f- a m donne ( — «*,

qui s’évanouit quand m est impair. En effectuant la division, on trouve

i+ii

4J7. Corollaire II. — Si un polynôme entier en x devient nul lorsqu’on y remplace successivement x par les nombres inégaux

n , b, c , etc., il est divisible par le produit

Soient P le polynôme proposé, et Q le polynôme entier qu'on obtient en divisant P par x — a. Si dans l’égalité

qui doit avoir lieu quel que soit x, on remplace x par b, le premier membre devient nul par hypothèse; quant*au second, il devient

{ b — a) Qi,

en désignant par Q 4 le résultat de la substitution de b à x dans le polynôme Q. Ce produit (b — n) Qi étant nul, et le facteur b — a étant différent de zéro , puisque a et. b sont des nombres inégaux , on doit avoir Qi = o ; le polynôme Q est donc divisible par x — b , et l’on a

Q' étant un polynôme entier en x; par suite P — (x — a) ( x — b ) Q'.

En continuant de la même façon, c’est-à-dire en faisant x = c dans cette égalité, on trouverait

Q'=(x — c)Q" et P = (x— fl)(x— ô)(x — c)Q", etc.

EXERCICES

I. Quelles sont les conditions de divisibilité de x* — a m par

II. Si un polynôme entier en x et dont les coefficients sont des nombres entiers a pour valeur deux nombres impairs pour x = o et x= 1 , aucun nombre entier substitué à x ne pourra réduire ce polynôme à zéro.

division.