SYSTÈME DE DEUX ÉQUATIONS A DEUX INCONNUES

90. On sait que toute équation du premier degré à deux inconnues peut être ramenée à la forme

ax -+- b y — c ,

où a , b , c sont des quantités indépendantes de x et de y.

Soit donc le système

(i) nx+by — r, a' x -y b’ y = c’ .

En opérant par substitution , on est conduit à remplacer succcssi-

FORMULES GKXÉllAIF.S. — DISCUSSION.

vement ce système par les systèmes équivalents :

c — br

c — by , r — br ,

— bjr a

i y (nb' — bn ') = tic' — en'.

c — by ne' — en

n ' ub — bn' ne' — en'

ab ' — ba ne' — en'

a 5 ? ab' — bn'

ne' — en'

eb' — bc' ab' — ba

ab'— bn'

et l’on voit que tlcux ér/untions simultanées <lu premier degré à deux inconnues admettent en général un système de solutions et n'en admettent t/n' un.

01. On peut d’ailleurs vérifier que la méthode de réduction et la méthode des multiplicateurs conduisent aussi aux formules ( 7 ).

Cherchons, par exemple, y par la méthode de réduction En multipliant la première îles équations ( 1 ) par a', la deuxième par a, et retranchant, on obtient

y (ab' — bn’) = ne' — en ’ , d’où y — C ~-

ab — bu

Demandons, au contraire, la valeur de x à la méthode des multiplicateurs; et pour cela, ajoutons la première équation au produit de la deuxième par l'indéterminée X; la relation

(n \a‘) .r -f- (b -+- X b’)y = c + Xc'

tient lieu de l’une des proposées, quel que soit X, et, par suite, pour la valeur particulière

qui fait évanoui»' les tenni s en y, et donne

d’où

cb' — bc'

X ~ ob'— bu''

98. L’inspection des formules ( 7 ) conduit à la règle suivante : l°. Pour former le dénominateur commun des valeurs de x et de y, on écrit successivement la lettre b à droite et à gauche de a, ce qui donne' a b et ha; puis on sépare ces deux termes par le signe — , après avoir accentué la dernière lettre de chacun (Ceux.

2 ". Pour former le numérateur d une inconnue, on remplace dans a b ' — ba’ chacun des coefficients de celte inconnue par le second membre de celle des équations proposées où entre ce coefficient. Ainsi le numérateur de x s'obtient du dénominateur commun ab’ — ba' par la substitution de c et c' à a et a' .