Soit le système

/ ax -t- h y -+• cz — - h ,

( 1 ) ' \a'x+b'y -ydz = k\

Appliquons la méthode des multiplicateurs qui est seule enijdoyéc en analyse pour les équations littérales.

En multipliant la deuxième équation par X', la troisième par X" et ajoutant les résultats à la première, on obtient la relation

| (a-ha'Y + a"\")x-y(b-yb'\'-yb"Y')y

j + ( c + e 'v c "\" )z=.k -y n' + rr,

qui remplace l’une des proposées, quels que soient Y et X".

On détermine X' et X" par la condition que les tenues en y et. z disparaissent, c’est-à-dire que l’on pose

FOUML'l.KS GENERALES» — DISCUSSION. ^5

et en substituant dans l'équation (2) les valeurs de V et V tirées de ces deux équations, on arrive h b" c — br"

„ bc' b c rb' — br' b' c" — c' b

z rl/ .\ - r' r /

k b' c" — le' b" ch' b" — bk' c" + bc' k'' — c b' h"

ab' c" — ac b" 4- ca' b" - — b a' c" -+■ bc a" — cb' a"

Kig. 1.

Au lieu de calculer directement yetz, on déduit leurs valeurs de la formule précédente par des permutations circulaires.

Soient (a, x), (/;,/), (c, 2) les trois sommets d’un triangle équilatéral inscrit.

Une rotation de 1 20 degrés amène la figure de la position (1) à la position (2), c’cst-àdire donne ù [a , x) la place de (c, 2), à (c, 2) la [dace de (b, y) et à ( b, y) celle de (a, x).

Par cette permutation, les équations (1) deviennent

by -f- rz - 4 - ax — k , b' y + c' z ~f a' x — b" y -+- c" z 4- a" x — k" .

Elles ne changent donc pas; les valeurs des inconnues ne doivent donc pas être altérées; mais la permutation transforme la formule ( 3 ) en la suivante :

a/c' c" — a' c' k" -t- va' k" — ka' c" -f- te' a'' — ck' a"

^ ab' c" — ac' b" -t- ca' b" — b a' c" -4- bc' a" — cb' a"

En faisant tourner la /ig. 2 de 120 degrés dans le même sens, ce qui revient à faire décrire 240 degrés à la fig. 1, on trouve

ab' k" — ah' b" / a ’ b" - ba’ k" bk' a" — kb'a"

ar' b'' + ca’ b" — ba' c" + bc' a " — cb' a"

( Il M'JTKE HUITII MK.

94. Le (lénoniinateur est le même polir les trois ineonnues. Voici la manière de le former : on prend les deux permutations* ah et — ha qui composent le'dénominateur des équations à deux inconnues; dans chacune de ces permutations, on met le coefficient c successivement à toutes les places en commençant par la dernière, et l’on change le signe de celte permutation chaque fois que c avance d’un rang vers la gauche. Ainsi le terme ah fournit les permutations

-i-abr, — ach , -t -enh, et le terme — ha donne

— bac, -t- beu, — chu.

On ajoute alors tous ces monômes avec leurs signes, en affectant la seconde lettre de chaque terme d’un accent, et la troisième de deux accents. On obtient ainsi pour le dénominateur commun relatif à trois équations

ah' c" — ne' b" -4- ca' b" — ha' c" -+- bc' a — cb'

Pour former le numérateur relatif à une inconnue, on rem-, place dans le dénominateur commun chacun des coefficients de cette inconnue par le second membre de l’équation correspondante.