INTRODUCTION DUS NOMBRES NÉGATIFS DANS I/ÉNONCÉ D’UN PROBLÈME

122. L’introduction de nombres négatifs dans les données d’un problème permet de réduire à une seule les formules qui correspondent aux différents cas de la question.

Les données sont souvent des grandeurs susceptibles d’être prises dans deux sens opposés. Ainsi, sur la droite indéfinie xy,

il existe deux points B et B' situés à une distance o ,n ,o5 d’un point donné A' ; l’un est à droite de A

Fie- 5.

ÎOO CHAPITRE NEUVIEME.

et l’autre à gauche. Au lieu d’écrire

AB = o m ,o5 à droite de A,

AB' = o ni ,o5 à gauche de A ,

affectons le nombre o ,D ,o5 , du signe -+- dans un cas, et du signe — dans l’autre.

Nous allons voir que ces conventions sont forcées, si l’on veut généraliser les formules.

Soient M et M' deux points situés d’un même côté du point Fig. 6. fixe O sur la droite indéfinie xy;

. , — — si l’on représente par les nombres

m et m ' leurs distances au point O, la distance MM' aura évidemment pour expression

mais si l’on veut que cette expression désigne toujours la distance des points M et M', quelles que soient leurs positions sur la droite indéfinie, il faut forcément donner le signe — aux nombres qui mesurent les distances portées à gauche de O , et le signe aux nombres qui représentent les distances comptées à droite , car si M vient en M", la condition

m' — m = M' M" = OM' 4- OM" exige impérieusement qu’on ait

• — tn — OM'' ou ni — — OM",

puisqu’on a déjà

ni' = OM'.

123. Ces considérations ne s’appliquent pas exclusivement aux longueurs ; la température au-dessus ou au-dessous de zéro, l’actif ou le passif d’un négociant, le gain ou la perte d’un joueur, peuvent aussi être représentés par des nombres positifs ou négatifs.

Exemple :

La température d'un thermomètre varie de v degrés par heure ; rite est actuellement de n degrés ; déterminer la tempèraûire x à une époque donnée t.

i°. Je suppose d’abord que la température aille en croissant

PROBI.ÈMFS DU PREMIER IJ RG RÉ. ) Ol)

avec le temps, et que la température actuelle n soit au-dessus de zéro. Il peut alors se présenter trois cas, suivant que l’extrémité de la colonne liquide se trouve à l’époque t au-dessus de n , entre n et zéro, ou au-dessous de zéro.

Fi ff- 7- Dans le premier cas, on a évidemment

<*) . x = n + vt.

^ Dans le second , t doit se rapporter nécessairement au temps passé , et l’on a

11 (2) x -+- vt — n ou x = n — vt.

,. M En6n, quand l’extrémité de la colonne liquide est au- I dessous du point zéro , on a

MO -t- ON = MN, ou

(3) x — t- n — vt et x — vt — n.

Les formules (i), (2) et (3) peuvent s’écrire x — n -(- vt , x — n -4- v( — t),

Elles rentrent donc toutes dans l'équation (1), si l’on convient qu’un nombre d’heures affecté, du signe — représente un temps passé, et qu’un nombre de mètres précédé du signe — représente une distance comptée à gauche de l’origine O.

2°. Je suppose maintenant que la température initiale n soit Fig. 8 inférieure à zéro ; l’extrémité M de la colonne mercurielle peut encore avoir trois positions différentes , relativement " M aux points O et N.

Selon que M est au-dessus de O ; entre O et N , ou au- - ■ 0 dessous de N , on a les relations