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et la figure OPRP’ est un carré. La droite OR est donc la bissectrice de l’angle æoy puisque c’est une diagonale de ce carré.

De même, l’abscisse du point M’ est égale à l'ordonnée du point Metona:

La figure OQSQ' est donc aussi un carré et sa diagonale OS est aussi la bissectrice de l'angle æoy.

Les trois points O, R et S sont donc en ligne droite sur la bissectrice «3 le l'angle æoy. Mais la figure MRM'S est

VARTATIONS DE FONCTIONS. 257 aussi un carré, car ses quatre angles sont droits et on a : MS=Q'P—OP—00'—O0OP—00—PQ—MS.

Il en résulte que MM’, qui est la seconde diagonale de

ce carré, est perpendiculaire à la première diagonale 03 et est partagée par elle en deux parties égales.

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74 ti Y!

Fig. 34.

En d’autres termes, les points M et M’ sont symétriques par rapport à la bissectrice oz.

On en conclut bien que la droite oz est un axe de symétrie de la courbe, puisque à chaque point M correspond un point M’ de la courbe symétrique par rapport à oz.

Considérons maintenant le point M, (fig. 34) d’abscisse

à I mn son ordonnée Sera y = — — 1m.

Il en résulte que l’abscisse de l’un des points M ou M, est opposée à l’ordonnée de l’autre, on a donc

OP——OP, et O00——00, et, entre les longueurs, OP=OP/ et LOC EPP

En raisonnant comme plus haut, on verrait que les quadrilatères OPR,P,, O0S,0, et MS,M,R,, sont des carrés; et par suite que la droite S,R, est la bissectrice de l’angle æoy' et que M et M, sont symétriques par rapport à cette bissectrice to’.

La seconde bissectrice {{’ de l’angle des axes de coordonnées est donc bien aussi un axe de symétrie.

Considérons, enfin, le point M’, d'abscisse —m. Son

, I ordonnée est y=——-

En raisonnant, comme nous l'avons fait, on verrait que M', est le symétrique de M, par rapport à z’3 et le symétrique de M’ par rapport à f#. |

Ceci résulte d’ailleurs immédiatement du tableau suivant qui donne les coordonnées des 4 points M, M’, M,, M’ :

symétrique|symétrique x y par rapport par rapport à 22 à tt M m = M’ M, m M = m M M’, M, Ge EE M’, M m M2 IT er M’ m

Lorsque pour deux points l’abscisse de l’un est égale à

l'ordonnée de l’autre, ils sont symétriques par rapport à 23’. À

Lorsque pour deux points l’abscisse de l’un est opposée à l’'ordonnée de l’autre, ils sont symétriques par rapport à tf'.

De tout ceci, il résulte que la figure MM'M',M, est un rectangle et que 23° et {!’ sont les perpendiculaires au milieu des côtés. Le point O est donc le centre du rectangle et les points M et M’,, qui sont deux sommets opposés de ce rectangle, sont symétriques par rapport à O.

À tout point M de la courbe correspond donc un point M’, symétrique par rapport à O, le point O est donc le centre de la courbe.