PROGRESSIONS, LOGARITHMES, INTÉRÊTS

$ 4. — Progressions arithmétiques.

281.— Définition. On appelle progression arithmétique une suite de termes tels que l'excès d'un terme quelconque sur le précédent soit constant.

Cet excès constant est ce qu'on appelle la raison de Ia progression.

On indique souvent une progression arithmétique en faisant précéder le premier terme du signe + et en séparant deux termes consécutifs par un point.

Ainsi

23-7-11-1b-19--est une progression arithmétique, car 7—3—11-7—12—11—19 — 10 —4.

La raison de la progression est 4.

282. — Calcul du terme de rang n. — Considérons une progression arithmétique + a-b-c-d ....

D’après la définition même, on a :

en désignant par r la raison.

On en conclut ;

DE rc ls L TS

Chaque terme de la progression se déduit du précédent

en lui ajoutant la raison.

BOURLET, — ÉLÉM. D'ALGÈBRE, 17

SE ONE RP PEER te

Cela étant, le premier terme de la progression est a; le second est a+; le troisième s'obtient en ajoutant r au second, c’est donc (a+r)+r—a<+#2r; le quatrième se déduit du troisième en lui ajoutant r, c’est donc a + 3r el: ainsi de suite.

On voit qu’en général :

On obtient un terme quelconque en ajoutant au premier terme autant de fois la raison qu'il y a de termes avant celui que l'on veut calculer.

Le terme de rang n est donc :

car ila n—1 termes avant lui.

ExEmPLE, — La suite des nombres impairs £ 1:3-b-7-9-11-13- .

forme une progression arithmétique de raison 2. Le nième nombre impair est donc

283. — Remarque. — Lorsque dans une progression arithmétique on renverse l’ordre des termes, on a une nouvelle progression dont la raison est opposée à celle de la première.

Ceci est évident, car si

est une progression de raison ”, on a :

On en conclut :

e—f—=d—-e—=c—d=b—-c—a—-b—=—vr.

Ce qui prouve que 2f'e d:c-b a:

est une progression arithmétique de raison — ,

284. — Théorème. — Dans une progression arithmétique limitée la somme de deux termes équidistants des extrêmes est constante et égale à la somme des extrêmes.

Soit, en effet

RS TORRES EE RCE L'ESOOON À A À © EE p termes p termes

une progression de raison r. Soient g le terme qui en a p avant lui et h le terme qui en a p après lui.

On a (n° 282) g=a+pr.

D'autre part, si on renverse l’ordre des termes, on aura une nouvelle progression de raison (— r), dont le premier terme sera / et où h en aura p avant lui. On a donc :

h=l+p(—r)=1i--pr.

De là on conclut

g+h=a+pr+l— pr —

285. — Somme des termes. — La somme des termes d'une progression arithmétique limitée est égale au produit de la demi-somme des extrêmes par le nombre des termes.

Soit S:0:CL 7. : h k-L.

Une progression arithmétique de n termes et S la somme de ces termes :

Dans le second membre intervertissons l’ordre des termes. Nous avons :

(2) S=l+k+th+.. Lc+b+a.

Ajoutons les égalités (1) et (2) membres à membres, il vient :

28 — (a + 1) + (b+X) + (CHR) ++ (h+ 0) +(k +) + (+ a).

à CCE ia le RS LL 1% % PA ERTAUL JEU T'UJERR ? : S”

Dans le second membre, il y a n parenthèses, et chacune est la somme de deux termes équidistants des extrêmes, donc chacune est égale à (a +1). Le second membre est donc égal à n fois (a+ L).

29—(a + l)n, d'où (3) sn, Ms 286. — Remarque. -- Comme la progression à n termes, on a :

En portant cette valeur de / dans la formule (3), on a la nouvelle expression de la somme :

Q 22 20 JURA à 2 #