LV
NOMBRES POSITIFS ET NÉGATIFS. à)
Si, maintenant, on veut résoudre un problème quelconque du type précédent, il suffit, dans cette égalité, de remplacer les lettres v et { par les nombres qu'elles représentent.
Ainsi, si le train marche 3 heures, à 50 kilomètres à Theure, la distance parcourue est :
æ = 50 X3— 150 kilomètres.
en remplaçant, dans l'égalité (1), v par 50 et { par 3.
9. — Formules. — Une égalité telle que l'égalité (1), qui donne la valeur d'une inconnue au moyen de données représentées par des lettres, est ce qu'on appelle une formule. |
Une formule est donc une égalité qui donne, sous forme abrégée, la suite des calculs qu'il faut effectuer sur les don-
nées d'un problème pour obtenir la valeur d’une inconnue. Elle contient la solution de tous les problèmes d'un même
type.
Ainsi, la formule (1) donne la solution de tout problème dans lequel il s’agit de calculer la distance parcourue par un mobile, connaissant sa vitesse et le temps du parcours.
Nous avons déjà fait usage de formules en arithmétique. Ainsi nous avions déjà employé! la formule e—vt. De même, nous avons donné ? la formule de l’intérèt simple :
ae Ur
où I désigne l'intérêt du capital a, placé au taux £ pendant N années.
9 2. — Définitions.
10. — Grandeurs susceptibles d’être comptées dans deux sens différents. — On rencontre, à chaque instant, des exemples de grandeurs susceptibles d'être comptées dans deux sens différents ou d’avoir deux accep-. tions opposées.
4. Voir dans notre Cours abrégé d'arithmétique, page 274, n° 658. 2. Cours abrégé d'arilhmétique : pages 347 et 343, n° 816.
En voici des exemples :
11. — Doit et avoir. — Le bilan d’un certain nombre d'opérations effectuées par un banquier ou un commerçant est une certaine somme d'argent. Cette somme est soit une recelte, soit un débours.
12. — Température. — Le thermomètre est un instrument qui sert à mesurer la température. La température est susceptible d'être comptée dans deux sens différents. En effet, dans le thermomètre centigrade, une colonne de liquide (mercure ou alcool), se meut dans un tube étroit de verre. Ce tube porte une graduation. Le chiffre o est inscrit sur cette graduation au point où s’arrête la colonne lorsqu'on plonge l'instrument dans de la glace fondante. Si on met le thermomètre en contact avec un corps plus chaud que la glace fondante, la colonne s'arrête en un point de la graduation situé au-dessus du zéro. Au contraire, si le corps est plus froid que la glace fondante, la colonne descend au-dessous du zéro. La température d’un corps peut donc être mesurée par un certain nombre de degrés centigrades, soit audessus, soil au-dessous de zéro.
13. — Distances. — Considérons encore un mobile qui se meut sur une ligne droite. Supposons qu'il parte d’un point A de la droite et qu’il décrive un certain chemin. Il peut, en partant de A, marcher dans deux sens différents, aller vers la gauche ou vers la droite.
Le chemin parcouru peut donc être compté dans deux sens opposés.
14. — Insuffisance des nombres arithmétiques pour mesurer ces grandeurs. — Comme nous l'avons dit plus haut, l’un des buts principaux de l’algèbre est de construire des formules (n° 9) qui fournissent les solutions de tous les problèmes d’un même type.
Lorsque l'inconnue dont la formule doit donner la va-
leur est une quantité susceptible d’être comptée dans deux sens différents, il faut, non seulement connaître sa valeur numérique, mais encore le sens dans lequel elle est comptée. Si l’on mesurait ces grandeurs avec les nombres ae l’arithmétique, une formule ne pourrait donner que la valeur numérique de l’inconnue et l’on ne connaîtrait pas son sens.
De là découle déjà la nécessité de créer de nouveaux nombres indiquant non seulement les valeurs numériques des quantités qu'ils mesurent, mais aussi leurs sens.
45. — Mais il y a plus. Une formule, pour être vraiment générale, doit pouvoir servir dans tous les cas. Or, il est facile de voir que les nombres arithmétiques ne permettent pas toujours de le faire.
Reprenons l'exemple du n° 44.
Supposons qu'un commerçant fasse deux opérations successives,
1° S'il fait deux recettes, l’une de A francs, l’autre de B francs, le bilan des deux opérations sera une recette de À + B francs.
2° S'il fait une recette de À francs et un débours de B francs et si la recette est plus forte que le débours, le bilan sera une recette de A —B francs. Si au contraire la recette est plus petite que le débours, le bilan sera un débours de B— A francs.
3° Enfin, s’il fait deux débours de A et B francs, le bilan final sera un débours de À + B francs.
On voit donc que si on appelle X le bilan on aura, suivant les cas,
Non seulement la formule n’indique pas si le bilan est un débours ou une recette, mais encore ce n'est pas toujours la même formule. Nous verrons plus lomm (n° 28) que précisément, grâce à l’introduction des nombres algébriques que nous allons définir, on pourra donner une formule unique, bonne dans tous les cas, qui, à elle seule, indiquera le sens du résultat.
16. — Ce qui précède nous montre donc que, pour pouvoir obtenir des formules générales, il faut ajouter aux nombres qui mesurent les grandeurs précitées quelque chose, un signe par exemple, qui soit propre à indiquer le sens
dans lequel on les compte.
Pour des raisons que nous ne pouvons donner ici, on a été conduit à choisir comme signes distinctifs les signes + et — de l'addition et de la soustraction.
Les applications que nous ferons dans la suite suffiront d'ailleurs à justifier ce choix.
17. — Nombres positifs et négatifs. — On appelle nombre positif un nombre arithmétique autre que zéro précédé du signe +.
On appelle nombre négatif un nombre arithmétique autre que zéro précédé du signe —.
L'ensemble des nombres positifs et négatifs, auxquels on adjoint le nombre zéro qui n'a aucus. signe, forme ce qu'on appelle les nombres algébriques.
Ainsi, + 4, qui se lit : plus quatre, est un nombre positif.
— 25, qui se lit : moins vingt-cinq, est un nombre négatif.
Ces nombres servent à mesurer les grandeurs susceptibles d’être comptées dans deux sens différents.
Ainsi, si le bilan d’un commercant est une recette de 215 francs, il à 215 francs de plus en caisse. Le bilan est + 215 francs.
Si, au contraire ce bilan est un débours de 128 francs, le commerçant a 128 francs de moins en caisse. Le bilan est — 128 francs.
18. — Nous représenterons les nombres algébriques par des lettres, mais dans la suite de ce chapitre, pour éviter toute confusion, nous emploierons toujours les petites lettres pour désigner les nombres algébriques et les grandes lettres pour désigner des nombres arithmétiques.
19. — Il faut remarquer avec soin que les signes distinctifs + et — des nombres positifs et négatifs n’ont, jusqu’à nouvel ordre du moins, aucune signification opératoire. Ils font corps avec eux. Lorsque ce sera nécessaire, pour empêcher toute méprise, nous enfermerons Île nombre et son signe dans des parenthèses pour bien indiquer que les deux forment un tout inséparable.
