Remarque II. — On appelle base d'un système de
LOGARITHMES. 267 logarithmes le nombre qui, dans ce système, a pour logarithme x.
La base des logarithmes vulgaires est donc ro.
300. — Remarque III. — Il faut remarquer avec soin qu'on n’a défini que les logarithmes de nombres positifs.
301. — Propriétés des logarithmes. — Les logarithmes jouissent de propriétés importantes grâce auxquelles leur emploi est très utile dans les calculs numériques.
Voici ces principales propriétés.
302. — Propriété I. — Le logarithme d'un produit est égal à la somme des logarithmes des facteurs. Soient a et b deux nombres, nous allons prouver que l’on a :
log ab — log a + log b.
Nous distinguerons trois cas :
1a>1et b>1. — Dans ce cas a et b figurent tous deux dans la progression géométrique TS AL PR ON RC et on aura :
=", b—= Ge Mais alors (n° 47) ab — q" q" — qui, Or, par définition, 1094=— 105$ 9 ==nr, en lon 0 EE r, log ab — log gt" — (n + nr.
On a donc bien log ab — log a + log b.
2 a>1etb<1. — Dans ce cas a figure dans la pro-
gression géométrique, mais b n’y figure pas. Le logarithme
de b est alors le nombre opposé au logarithme de se
b Soit I / a—q", FRE g on a b ES Se q" d’où (n° 64) q" ' ab = — — nn q" ETS
en supposant n plus grand que »’.
On a done, par définition, 1684 = 010 log b=—]logq"——"n7r, log ab — log gg" —(n — n'}r, et on a encore : À log ab — log a + log b.
: : I C4 Fe Si on avait a < -, on aurait:
Nous avons supposé a >
n'>net, par suite,
FAUNE ER ab 1% q" LE qu" d’où logab——logq""——{(n —nr=(n—n)r," et le raisonnement subsiste.
3° a 1 et b<1. — Dans ce cas il faut prendre les = I I inverses - et -d:°*D Soit 3 — ph à — Une Gr PS:
on 4’:
«& cn b — Q 1 gd".
d’où he I I TE I
Par définition (n° 296), on a alors :
loga=——logq"——nr, log b——logg"——"nr, log ab = —]log qi = — (n + n'}r,
et on a encore bien :
{og ab — log a + log b.
Le théorème est donc général pour un produit de deux facteurs.
303. — La propriété s'étend alors, sans difficulté, à un produit de plusieurs facteurs.
Considérons, en effet, le produit abcd. On peut le considérer comme le produit de a par bcd et on a :
(1) log abcd — log a + log bcd.
De même, bcd peut être considéré comme le produit de
b par cd et, en appliquant le théorème vrai pour deux facteurs, on a :
(2) log bcd — log b + log cd. Enfin, on a :
(3) log cd — log c + log d.
En ajoutant, membres à membres, les trois égalités (1), (2) et (3) et supprimant de chaque côté les termes communs, log bcd et log cd, il vient finalement
log abcd — log a + log b + log c + log d.
