Somme algébrique. — On appelle somme algé
brique une suite d'additions ou de soustractions succes- SIves.
Ainsi (+4)+ M de VS GR 2 est une somme “es Cette expression indique que l’on doit faire la somme de + 4 et —5; du résultat retrancher — 3; au nouveau résultat ajouter — 1; enfin de ce dernier résultat retrancher + 7.
Or, d’après la règle précédente, pour retrancher —3 on ajoute + 3, et pour retrancher + 7 on ajoute — 7.
On peut donc écrire ceci :
de mt one Det me rem eur À
Ce qui est une somme ordinaire.
On peut donc dire que : {toute somme algébrique est identique à une somme ordinaire ‘à condition de remplacer les termes précédés du signe (—) par leurs opposés.
Les sommes algébriques jouissent donc des mêmes propriétés que les sommes ordinaires.
37. — Conséquence. — Considérons une somme algébrique atb—c+d—e où &, b, c, d, e désignent des nombres positifs ou négatifs. On la transforme en somme ordinaire en remplaçant — c et — e par les nombres opposés. Ceci conduit à la convention suivante :
On désigne le nombre opposé d'un nombre donné en plaçant le signe ( — ) devant ce nombre.
Ainsi — a désigne le nombre opposé à a. ,
Avec cetteconvention, la somme algébriquea+ b—c+d—e peut être considérée comme la somme ordinaire de a, b, —c, d'et—e, qui sont appelés les {ermes de la somme.
38. — Théorème. — Si dans une somme on remplace tous les termes par des termes opposés, la nouvelle somme est opposée à la première.
C’est presque évident puisque tous les nombres positifs deviennent négatifs et inversement.
Ainsi, si dans B—4+3—2—= +2 on remplace les termes par des nombres opposés, on obtient
TE
On a de même —(a+b—c+d—=—-a—b+c—d, car — (a + b—c+ d) indique l'opposé de (a + b — c + d) effectué (n° 6).
39. — Théorème. — Pour ajouter ou retrancher une somme algébrique, il suffit d'ajouter ou de retrancher chacune des parties.
On a, en effet,
a—b+{(c—d+e)—=a—-b+c—d+e, puisqu'on peut, dans la somme a—b+c—d+e, remplacer c—d+e par la somme effectuée.
D'autre part, pour retrancher c—d+e, on doit ajouter le nombre opposé qui est, d’après le n° 38, — c+d—e.
Donc: a—b—(c—d+e)—=a—b—c+d—e.
40. — D'après ce qui précède on peut supprimer ou introduire des parenthèses.
On à : | a+b+(c—d)+{(e—f+g=a+b+c—d+e—f+4; (a—b+c)—(d+f)—{(g—h)=a—b+c—d fe gr a—b+c—d—f—a—{(b—c+d)—f; a—b+c—d—f—a—b+c—(d+f}; a—b+c—d—f—a+c—(b+d+f); a—b+c—d—f—{(a—b) +(c—d)—f.
On voit d'après cela que:
. 1° On peut, sans rien changer, introduire ou supprimer
dans une somme des parenthèses précédées du signe ( +).
2° Lorsque dans une somme on introduit ou on supprime une parenthèse précédée du signe (—), il faut changer les signes de tous les termes placés dans la parenthèse.
Q 4. — Multiplication et Division.
41. — Produit de deux nombres. — On appelle produit de deux nombres algébriques un nombre dont la valeur absolue est égale au produit des valeurs absolues des deux nombres donnés et qui a le signe ( +) ou (—) suivant que les deux nombres sont de même signe ou non.
Lorsqu'un des deux nombres est 0, le produit est égal à 0.
Il résulte de là que le signe du produit de deux nom: bres s'obtient par la règle suivante dite règle des signes.
+ par + donne +
-WÉ-20ù 1 te 2 Pen DVI nc Règle CRUE ET NE — D» — » + Ans (3): (+ 4) = + 12, (—3)-(— 4) = +, (+ 3): (— 4) = —10,| + (+3).0 — 0, EN (+4) = 12,1 o.(—4)— 0.
42. —- Produit de plusieurs facteurs. — On appelle produit de plusieurs nombres le nombre obtenu de la manière suivante :
1° On fait le produit arithmétique des valeurs absolues.
2° On affecte ce produit du signe (+) s'il y a un nombre pair ou nul de facteurs négatifs.
On l'affecte du signe (—) s’il y a un nombre impair de fac teurs négatifs.
Lorsqu'un des deux facteurs du produit est O, le produit est égal à 0.
