O'M — OM — O
O0" c'est l'abscisse de O’ avec l'origine O. Désignons-la par a, et nous avons alors :
Cette égalité est la formule qui permet de calculer x’ connaissant æ et a. Elle s'exprime ainsi en langage ordinaire :
La nouvelle abscisse est égale à l'ancienne diminuée de l’abscisse de la nouvelle origine par rapport à l’ancienne origine.
ExeurLe. — Supposons 00’— + 3.
La formule (1) devient :
pour Z—= + 4, on à LAS pour L="F.2, on à L'—=— 1; pour ZT — —3, on à z' EEE 84. — Température absolue. — On appelle en phy-
sique température absolue la température mesurée en prenant comme origine des températures celle qui a pour mesure — 273 degrés centigrades. ,
Le calcul d’une température absolue, lorsqu'on connaît la température en degrés centigrades, n’est donc qu'un changement d’origine où l’abscisse de la nouvelle origine est — 273.
Si donc { désigne la température en degrés centigrades et T la température absolue, on a, en appliquant la formule (1) où l’on fait
et PE MR ne Lt ao
La température absolue s'obtient donc en ajoutant à 1a
température en degrés centigrades le nombre fixe 273.
Ainsi :
pour 4— + 150, on à T = + 2880; pour t— — 590, on à T= + 2210,
On démontre en physique que la température d’un corps quelconque ne peut jamais être inférieure à — 273 degrés centigrades. Il en résulte que la température absolue est toujours positive.
8 2. — Le Temps
85. — Unités de temps. — Une année contient 365 jours, un jour contient 24 heures, une heure contient 60 minutes et une minute contient 60 secondes.
Pour mesurer un temps on peut prendre comme té l’année, le jour, l'heure, la minute ou la seconde.
Les unitésles plus fréquemment employées sont : l’année et le jour dans les questions financières, l’heure et la seconde dans les questions de mouvement.
- L'unité ayant été choisie, il conviendra toujours dans les calculs d'exprimer la mesure arithmétique d'un temps en unités et fractions décimales d'unités. Nous supposerons donc toujours, dans la suite, que la conversion des tempe en nombres décimaux a été effectuée.
C'est d’ailleurs une conversion qu’on a appris à faire en arithmétique.
Ainsi un temps de 3°30" s’écrira 3",5.
Un temps de 28"5*% s’écrira, en secondes, 1685*%.
86. — Repérage des instants par rapport à une origine. — Pour fixer communément un instant dans une journée, on dit l’heure qu'il est à cet instant. Ainsi, si on dit qu'il est 2 heures et demie de l’après-midi, on entend par là qu'à cet instant il s’est écoulé 2 heures et demie depuis midi, c’est-à-dire depuis l'instant de la journée où le soleil a passé au méridien.
On voit donc qu'en somme midi est une origine des temps et qu'on indique un instant en énonçant le nombre d'heures et de fractions d'heure qui se sont écoulées depuis cet instant origine.
Mais cette façon d'indiquer un instant est insuffisante, car d'abord elle ne peut servir que pour une même journée et, ensuite, il faut toujours dire s’il s’agit du matin ou du soir. Quand je dis : il est 2 heures 1/2, je ne dis pas de quel jour il s’agit; je ne sais pas non plus s’il s’agit du matin ou du soir.
Pour pouvoir introduire le temps dans les calculs de l'algèbre il faut donc employer une mesure plus précise.
On y parvient par l'emploi des nombres positifs et négatifs.
Choiïsissons un instant quelconque comme origine des temps. Ceci fait, nous indiquerons sans ambiguïté un instant
quelconque en donnant le nombre d'heures et fractions d'heure qui le séparent de l'origine des temps et en ayant
(‘) Voir notre Cours abrégé d'arithmétlique, Livre IIT, Chap. IT, $ 3.
soin de donner le signe ( + ) à tous les instants qui suivent l'origine et le signe (— ) à ceux qui précèdent l’origine.
Par exemple, prenons comme origine des temps midi du 1°’ janvier 1905.
L’instant + 4,5 sera alors celui qui a eu lieu 4" 1/2 après midi du 1° janvier 1903. Ce sera donc 4"1/2 de l'après-midi du 1° Jjanvier 1903.
L’instant + 49 heures est celui qui a eu lieu 49 heures après midi du 1° janvier. Ce sera donc 1 heure de l'après-midi du 3 janvier.
L’instant —3",25 est celui qui a eu lieu 3" 1/4 avant midi du 1°" Janvier 1903. Ce sera donc 8" 3/4 du matin du 1° janvier 1903.
L’instant — 24 est celui qui a précédé de 24 heures midi du
1°" Janvier 1903. C’est donc midi du 31 décembre 1902.
Et ainsi de suite.
Un instant est repéré par un nombre positif ou négatif suivant qu'il suit ou qu’il précède l’origine des temps.
87. — Horloges. — On pourrait fabriquer une horloge pour marquer les instants de la facon suivante : Dans une longue planchette est pratiquée (fig. 9) une rainure longitudinale. Cette rainure est graduée et porte des numéros
— 4, —3, — 2, — 1,0, + 1, + 2, +3, eic….
s'étendant dans les deux sens à partir du zéro.
Dans la rainure glisse, dans le sens de la flèche F, un index qui est mû par un mouvement d'horlogerie qui est réglé de telle façon que l'index soit au point o à l’origine des temps, au point — 3 à l'instant — 3, au point + 6 à l'instant + 6 et ainsi de suite. En d'autres termes, l'index indiquera, à chaque instant, le numéro positif ou négatif de cet instant.
Dans une telle horloge, un instant quelconque serait repéré comme un point sur une droite par une abscisse. Elle permettrait donc d'assimiler les instants à des abscisses.
ra: 4
Une telle horloge nous facilitera les raisonnements et les calculs sur les temps; mais, dans la pratique, elle serait irréalisable, car il faudrait une planchette illimitée dans les deux sens.
En fait, au lieu de l'horloge rectiligne que nous venons d’imaginer, on emploie une horloge circulaire.
Le cadran de cette horloge porte deux cercles concentriques et deux aiguilles. La pointe de la grande aiguille se déplace, dans le sens de la flèche F (fig. 10), sur le grand cercle partagé en 6o parties égales, numérotées de o à 60. Cette grande aiguille fait un tour en une heure ou 6o minutes. Si donc elle est à l’origine des temps au point O, elle indique, par sa position, le nombre des minutes qui se sont écoulées depuis l'instant origine. |
S'1l n'y avait que la grande aiguille, l'horloge ne pourrait marquer que les instants pendant une heure. Au bout d'une heure elle aurait fait un tour et recommencerait à marquer les mêmes numéros qu'auparavant. Pour savoir l'heure exacte, l'instant exact, il faut donc savoir combien de tours et de fractions de tour a faits la grande aiguille. Le rôle de la petite aiguille est d'indiquer le nombre des - tours entiers de la grande. Cette petite aiguille tourne dans le même sens que la grande, mais moins vite. Elle avance d’un douzième de tour par heure ‘et les numéros des tours faits par la grande sont inscrits en chiffres romains sur le petit cercle que décrit la pointe de cette
BOURLET. — ÉLÉM. D'ALGÈBRE. 4
Rene a tu - 1 ce (tte
petite aiguille. Si donc, comme dans la figure 10, la petite aiguille est entre V et VI et la grande aiguille au numéro 18, cela veut dire que la grande aiguille a fait 5 tours plus une fraction de 18 soixantièmes. Il s’est donc écoulé depuis l'origine des temps 5 heures 18 minutes.
On pourrait encore dire ici que les aiguilles indiquent
le chemin parcouru par la grande. Le chemin est de 5
18 , , 2 x tours plus Frs de tour. Ce chemin pourrait encore être
comparé à une abscisse; mais, pour la clarté des raisonnements, il sera plus commode de raisonner sur lhorloge rectiligne.
88. — Mesure d’un intervalle de temps. — Étant donnés deux événements A et B, si Je dis qu'ils sont séparés par un intervalle de temps de 4 heures, je ne suis pas exactement fixé sur leurs positions relatives, car je ne sais pas quel est celui des deux événements qui a eu lieu le premier.
L'événement À peut précéder ou suivre l'événement B.
L'emploi des nombres positifs et négatifs nous permet de faire la distinction. ;
Nous appellerons mesure algébrique de l'intervalle de temps qui va de l'instant À à l'instant B, le nombre qui a pour valeur absolue la mesure du temps qui sépare les deux instants et pour signe le signe (+) ou le signe (—), suivant que À précède ou suit B.
Ainsi la mesure algébrique de l'intervalle de temps qui va de 2 heures de l’après-midi à 5 heures est + 3. La mesure algébrique de lintervalle de temps qui va de 6 heures du matin à 1 heure du même matin est — 5.
89. — Ceci posé, si nous nous reportons à l'horloge rectiligne (fig. 9), nous voyons que la mesure algébrique d'un intervalle de temps est la même que celle du segment qui a pour origine la position de l'index à l'instant onthal et pour extrémité la position de l'index à l'instant final.
» V 1 + Len LORD ES ne, ut
APPLICATIONS DES NOMBRES ALGÉBRIQUES. o1
Comme les abseisses de l'index dans les deux positions sont précisément les nombres qui repèrent les instants correspondants, on a immédiatement la règle suivante en appliquant le théorème du n° 80:
La mesure algébrique d'un intervalle de temps est égale à l'excès du nombre qui repère l'instant final sur celui qui repère l'instant initial.
.. Exewpse 1. — Quel est l'intervalle de temps qui va de 8" 1/4 du malin à 5" 1/2 de l'après-midi d'un même jour? En prenant comme origine midi, l'instant initial est — 3,75 ct
l'instant final + 5,5; l'intervalle en question est donc : + 5,5 —(— 3,95) — + 9,25.
ExemPLE Il. — Quel est l'intervalle de temps qui va de 2" 1/2 du malin à 7" 3/4 du même matin?
Si on prend comme origine minuit, l'instant initial est + 2,5 et l'instant final est + 7,75; l'intervalle cherché est donc :
Nous aurions pu prendre comme origine midi. L’instant initial serait alors — 9,5 et l'instant final RTE l'intervalle cherché
serait alors — 4,25 — (— 9,25) = +5,25.
On voit que l’on trouve bien le même nombre dans les deux cas. La mesure de l'intervalle est indépendante de l'origine choisie.
90. — Chronologie. — Dans la chronologie de l'Histoire on prend comme origine des temps la naissance de Jésus-Christ. Lorsqu'on dit qu'un événement a eu lieu en l’an r après Jésus-Christ, on veut dire par là qu’il a eu lieu pendant la première année après la naissance du Christ. Il ne s’est donc pas écoulé une année entière, mais seulement une fraction d'année depuis la naissance du Christ.
Si on prend comme unité l’année, l'instant en question est donc un nombre plus petit que 1.
Si un événement a eu lieu le 17 février 1903 cela veut dire que cet événement a eu lieu pendant la rgo3ïème année
après la naissance du PE Il s’est donc écoulé 1902 ans et 48 jours ou 1902 + — ® d'année depuis la naissance du
Christ.
Pour indiquer une date on pourrait alors employer les nombres positifs et négatifs en donnant le signe (+) aux dates des événements postérieurs à Jésus-Christ et le signe (—) aux dates antérieures à Jésus-Christ.
Ainsi le 17 février 1903 après Jésus-Christ serait l'instant
3e (1002 ss) Le 1° décembre de l'an 5 avant Jésus-Christ
serait l'instant — (: + 5) en ne comptant pas le jour même.
91. — Problème. — Un homme est né le 17 novembre de l'an 31 av. Jésus-Christ. Il est mort le 18 mars de l'an 43 après Jésus-Christ. Combien a-t-il vécu?
L'instant de sa naissance (initial) est — (30 + se)
L'instant de sa mort (final) est + (a +38)
La durée de sa vie est l'intervalle de temps qui va de sa naissance à sa mort; c'est donc (n° 89):
Cet homme a donc vécu 72 ans et 121 Jours.
92. — Remarque. — Il faut essentiellement n’appliquer le repérage des temps pour la chronologie que comme nous l'avons fait. On ne peut pas l'appliquer aux millésimes des années. Ceci tient à ce que le millésime
d'une année n'indique pas combien d'années séparent .
l'instant en question de l'instant origine, mais seulement le numéro d'ordre de l’année pendant laquelle l'événement a eu lieu.
Il n’y à pas d'année numérotée o. De l’an 1 avant Jésus-Christ on passe sans transition à l’an 4 après Jésus- Christ.
93. — Changement de l'origine des temps. — L'emploi de l'horloge rectiligne nous ayant montré que les instants peuvent être regardés comme des abscisses et
les intervalles de temps comme des segments, il en résulte que l’on fera un changement d’origine des temps comme on fait un changement d’origine des abscisses.
51 donc { désigne le nombre qui repère un instant avec une première origine, { le nombre qui repère le même instant avec une seconde origine, et 0 le nombre qui repère la seconde origine par rapport à la première, on a, en appliquant la formule (r) du n° 83,
se) He
Le nombre qui repère un instant par rapport à une nouvelle
origine est égal au nombre qui repère le même instant par
rapport à l’ancienne origine diminué du nombre qui repère la nouvelle origine par rapport à l'ancienne.
Exempze. — La nouvelle origine est l'instant — 3,5 avec l’ancienne origine. On a donc Dr, Dette ES, 5:
Si = + 4, He )9,0, He "9, == #00); t— — 58,5, 0.
94, —Applications. - La formule du changement d’origine peut servir à: calculer l'heure exacte sur une horloge qui avance ou retarde; à calculer l'heure dans une ville qui n’est pas sur le même méridien que Paris, con- - naissant l'heure de Paris et la différence des heures.
En voici des exemples :
PROBLÈME I. — Paul a une montre qui retarde de 5 minutes. Calculer l'heure exacte lorsque la montre de Paul indique Sat? ce
Dire que la montre de Paul retarde de 5 minutes c’est dire que quand il est midi la montre marque midi moins 5.
La nouvelle origine est donc l'instant — 5 sur la montre de Paul. L'heure exacte s'obtient donc en retranchant (— 5) de l'heure marquée par la montre, c’est-à-dire en ajoutant + 5.
Il faut donc ajouter 5 minutes à l'heure marquée. Lorsque la montre marque 3" 2", il est 3" 7".
PROBLÈME II. — Quand il est midi à Bordeaux, il est midi 11°38° à Paris. Comment obtient-on l'heure de Bordeaux connaissant celle de Paris ?
L'origine des temps à Paris est midi de Paris, c'est-àdire l'instant où le soleil passe au méridien de Paris. L'origine des temps à Bordeaux estmidi de Bordeaux, c’està-dire l'instant où le soleil passe au méridien de Bordeaux. Comme Bordeaux et Paris ne sont pas sur le même méridien, l’origine des temps n’est pas la même pour les Parisiens etles Bordelais.
L'origine des temps des Bordelais est l'instant + (11"38°) pour les Parisiens.
On obtiendra donc l'heure de Bordeaux en retranchant de l'heure de Paris r1" 38°.
Ainsi quand il est 3 heures à Paris, il est 2 48" 22 à Bordeaux.
à 3. — Mouvement uniforme.
95. — Définition. — On dit qu'un mobile qui se meut sur un axe, sur lequel un sens positif a été choisi, est animé d'un mouvement uniforme si les segments parcourus par ce mobile dans des temps égaux sont égaux, quelle que soit la valeur commune de ces temps.
Le segment parcouru dans une heure a toujours même mesure algébrique; le segment parcouru dans une minute a toujours même mesure algébrique, et ainsi de suite.
Il est bon de remarquer qu'il s'agit de segments. Ceci implique donc non seulement que les chemins parcourus dans des temps égaux sont égaux, mais aussi que les sens de parcours Sont les mêmes.
Il en résulte que le mobile marche toujours dans le méme sens.
