LAS
PA
Considérons maintenant un polynôme contenant deux lettres a et &. On ordonne alors les termes suivant les puissances de l’une des deux lettres. Supposons, par exemple, que le polynôme, après la réduction des termes semblables, se réduise à
QXS + ga — 08 + 200? + 4 X — 3 A? +1.
On peut l'écrire d’abord dt + AXs — X3 Laax? — ZX + AL +1.
Remarquons maintenant que (n° 48)
AS — 5 — (a — 1) &5, 2 OX? — 34 —(2a—3) X?,
le polynôme peut donc prendre la forme dt + (a — 1) &5 + (2 a — 5) x? + 4 & +1.
On dit alors que le polynôme est ordonné suivant les puissances décroissantes de x et, par une extension du mot coefficient, on dit aussi que le PRES a pour coefficients
121. — Degré d’un polynôme. — On appelle degré d'un polynôme entier ordonné suivant les puissances de la lettre x l'exposant de la plus haute puissance de x.
Ainsi le polynôme que nous venons de considérer est du quatrième degré (par rapport à &). Considérons encore l'exemple suivant
as — 3 ab + 3 ab? — bs.
Ce polynôme est ordonné suivant les puissances décroissantes de a et suivant les puissances croissantes de b. I est du troisième degré par rapport à chacune des deux lettres a et b.
On remarquera que le degré de chaque terme par rapport à l’ensemble des deux lettres a et b est (n° 416) aussi
N'a "Ya T 2% 4 = à = )
A , PRINCIPES DU CALCUL ALGÉBRIQUE. 81 égal à trois. Le polynôme est dit homogène par rapport aux deux lettres a et b.
122. — Polynômes complets. — On dit qu'un polynôme en æ est complet lorsqu'il contient des termes de tous les degrés, depuis le degré le plus élevé jusqu’au terme constant qu'on peut considérer comme de degré zéro, puisque (n° 62) x0— 1.
Un polynôme qui n’est pas complet est dit incomplet.
Ainsi le polynôme du 4° degré :
LE — 325 + Ga? — 9x + 5
est complet. Le dernier terme 5 est ce qu’on appelle le terme constant. - On peut le considerer comme contenant la lettre x à l’exposant zéro, car (n° 62) De D.
Le polynôme : xS + 2%
est incomplet. Il y manque le terme du second degré et un terme constant.
8 2. — Addition et soustraction des monômes et polynômes.
123. — Addition et soustraction des monômes. — L'addition des monômes a déjà été effectuée dans le chapitre précédent (n° 417), mais, pour grouper ensemble toutes les opérations sur les monômes et polynômes, nous rappellerons ici la règle :
Règle. — Pour additionner plusieurs monômes, il suffit d'écrire tous ces monômes à la suite les uns des autres avec leurs signes.
La soustraction d’un monôme équivaut à l'addition du
monôme opposé.
124. — Addition et soustraction des polynômes. — Pour ajouter ou retrancher un polynôme, il suffit d'ajouter ou de retrancher successivement tous les termes de ce polynôme.
BOURLET. — ÉLÉM. D'ALGÈBRE. (9)
a: di PP. e 6 re ha DRAC
Ceci résulte du théorème du n° 39.
On voit donc que, pour additionner deux polynômes, il suffit d'écrire tous les termes de l’un des polynômes à la suite de l’autre.
Ainsi, soit à additionner les deux polynômes
L— gti, XS+axt—2x +3,
la somme est représentée par
(wi 08 Fc) PEAR EE
l'application de la règle donne
Li— + c+i+as+at—o2x+s
et, après la réduction des termes semblables,
