PRINCIPES DU CALCUL ALGÉBRIQUE
Dans la pratique, on dispose l'opération de façon que la réduction des termes semblables soit facile.
Les polynômes à ajouter étant réduits, on les ordonne tous, dans le même sens, par rapport à une même lettre. Puis on les écrit les uns au-dessous des autres de façon que les termes semblables soient tous dans une même colonne verticale, et on fait l'addition en faisant la somme des termes de chaque colonne verticale.
Lorsque les polynômes sur lesquels on opère ne sont pas complets, on a soin d’espacer les termes de façon à
marquer la place des termes qui manquent dans un polynôme et qui peuvent exister dans un autre.
Exempces. — Soit à faire la somme des polynômes :
æ+a—1 XS — x + 4x? —3 ZX — À
On les ordonne et on les dispose les uns au-dessous des autres, On a ainsi l'opération suivante :
a + T— 1 DS 403 — 25 T — À
a + br? + x — 8.
Soit encore à faire la somme des polynômes
di + 22° y" — 315y + y* Ta — y*
Gx5y — 51y5
42° y" + 2yt.
Nous disposerons l’opération de la façon suivante, en laissant dans le premier polynôme la place du terme en x qui manque, dans le second polynôme les trois places des termes en 4°, 2°, æ, qui manquent, elc..….
at — 3 x5y + 22°V° + Y° xt ; es y* Gasy — 5ry5 4x y? + 24
224 + 325y + GL?y? — 5xy5 Hoyt.
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@ &. — Multiplication des monômes et des polynômes. — Division d’un polynôme par un monôme.
126. — Multiplication des monômes. — Les règles démontrées pour les produits de facteurs (n° 43 et 44) fournissent immédiatement la règle suivante :
Règle. — Pour faire le produit de deux monômes, il suffit de faire le produit de tous les facteurs qu'ils contiennent.
Il résulte de là que :
Le coefficient du produit de deux monômes entiers est le produit des coefficients des deux monômes.
Soit par exemple à faire le produit des monômes entiers :
AxSy5z 3x?yl.
Ce produit est 42 y5x Sa? yl.
Si on fait la réduction de ce monôme (n° 414) on trouve successivement 12 ZX?" yat el 12 tSyhzl.
C'est le résultat cherché.
127. — Multiplication d’un polynôme par un monôme. — La règle pour faire le produit d’une somme algébrique par un nombre (n° 48) nous conduit à la règle suivante :
Règle. — Pour faire le produit d'un polynôme par un monôme, on fait la somme des produits obtenus en multi-
pliant successivement chacun des termes du polynôme par le monôme.
ExEemPLes. — Soit à effectuer ce produit
(at — x? + 2x + 7) 222.
PRINCIPES DU CALCUL ALGÉBRIQUE. 85 Ce produit est égal à
De même on à :
(at — 2a2b2 + D4) ab — ab — 2 a5b5 + ab,
128. — Produit de deux polynômes. — Pour faire le produit de deux polynômes, il suffit d'appliquer la règle par laquelle on obtient le produit de deux sommes algébriques (n° 49).
Pour multiplier entre eux deux polynômes, il suffit de multiplier l'un d'eux successivement par tous les termes de l’autre et d'ajouter entre eux les résultats obtenus.
Pratiquement, pour multiplier deux polynômes entiers, on dispose en général l’opération de la façon suivante :
Règle. — On ordonne les deux polynômes, dans le même sens, par rapport à la même lettre. On écrit l'un des polynômes (multiplicateur) au-dessous de l’autre (multiplicande) et on multiplie successivement le multiplicande par tous les termes du multiplicateur. On écrit les produits partiels, ainsi obtenus,
les uns au-dessous des autres de façon à disposer leur addition, comme il a été dit au n° 125 et on effectue cette addition.
Exewpse I. — Soit à faire le produit des deux polynômes 4x— ax +oxs—3 et x+r15—7x.
Disposition de l’opération :
Multiplicande 245— 24 4x — 3 Multiplicateur L— x +15 22 — xt+ 4x8 — 37° Produits partiels at Mn nn A rt 3% 3023 — 15 x? + 6Gox — 45 Produit 245 — 3x4 + 35x53 — 22 x? L 63x — 45.
Exempce II. — Soit à faire le produit des deux polynômes as + ax? + ax + as et T— 4.
Disposition de l’opération :
Multiplicande 2x5 + ax? + ax + a Multiplicateur x — a at +- ans + a?x? + ax
— QXS — 22? — QSx + a*
Produit 2 — 44,
e ne Lu de do ee HAPUQRES- ,
On obtient donc la formule suivante :
at at— (x — a) (a5 + ax? + a x + æ&).
129. — Identités. — On dit que deux expressions algébriques sont équivalentes lorsqu'elles prennent les mêmes valeurs numériques, quelles que soient les valeurs attribuées aux lettres qui y figurent.
Ainsi les expressions
a(b+c) et ab+ac sont équivalentes.
Lorsqu'on écrit une égalité dont les deux membres sont des expressions équivalentes, on a ce qu’on appelle une identité.
Ainsi les égalités :
a(b+c)—=ab + ac, (a + b) (c + d) = ac + bc + ad + bd
sont des identités.
130. — Identités remarquables. — Chaque fois qu'on fait le produit de deux ou de plusieurs polynômes, on obtient des expressions équivalentes, et, par suite, on peut écrire des identités.
Parmi ces identités, il y en a de remarquables qu'il est bon de savoir par cœur.
Voici d’abord celles, très importantes, qui ont été démontrées aux n° 49, 50 et 5".
(x + a)? — x? + 2 ax + a, (x— a} = 2? — 2 ax + a, (x + a)(x—a)— x? — a.
En appliquant la règle de multiplication des polynômes, on trouve encore les suivantes :
(x? + ax + a?) (x — a) — 25 — as, (25 +4- ax? + a? x + aS)(x — a) —xt— a, (rt + ax + aa? + as x + ai) (x — a) — a — aÿ, De (x? — ax + a?) (x + a) —= 25 + 45, (aé — ax + a? x? — as x + at) (x + a) = a + ai.
On les vérifiera sans peine.
20”, Ten? lé Cru.) ". dé
PRINCIPES DU CALCUL ALGÉBRIQUE. Su
1431. — Division d'un monôme par un monôme.
Le quotient d'un monôme (dividende) par un autre monôme (diviseur) est équivalent à une fraction ayant pour numérateur le monôme dividende et pour dénominateur le monôme diviseur.
Le quotient de deux monômes entiers n’est pas, en général, un monôme entier; mais, si les deux monômes contiennent des lettres communes, on pourra simplifier la fraction obtenue en divisant les deux termes par des lettres communes.
Ainsi le quotient de 4 a bc? par : ab? d est :
12 45 bc?
ne Ener Er A 2 | 2 ab?
fraction qui peut se simplifier et s’écrire
bd
432. — Il peut arriver, en particulier, qu'après la simplification il n’y ait plus aucune lettre en dénominateur. Dans ce cas, le quotient est un monôûme entier. Ainsi
a3 ba c?
re ga bc
Il est d’ailleurs facile de voir que la condition nécessaire el suffisante pour que le quotient de deux monômes entiers soit équivalent à un monôme entier est que le dividende conlienne toutes les lettres qui figurent dans le diviseur, chacune d'elles élant affectée d'un exposant au moins égal à celui qu’elle a dans le diviseur. |
La démonstration est la même que celle que l’on fait en arithmétique pour trouver la condition pour qu’un nombre entier décomposé en facteurs premiers soit divisible par un autre nombre également décomposé ft.
4. Voir dans notre Cours abrégé d'arithmétique n° 306, page 121.
88 ELÈMENTS D'ALGÉBRE. À à
133. — Division d'un polynôme par un monôme. — Pour diviser un polynôme par un monôme, il suffit de multiplier le polynôme par l'inverse du monôme. En appliquant le théorème du n° 48, on parvient immédiatement à la règle suivante :
Règle. — Pour diviser un polynôme par un monôme, il suffit de diviser chacun des termes du polynôme par le monôme.
Ainsi Pam ee A DO? 5 4 LE De même
— Dax? +oaix
DE
d : ax + - a?
6a’x re 6 RS Dans le second exemple, le dividende, le diviseur et le quotient sont entiers.
VALEURS NUMÉRIQUES D'EXPRESSIONS 97. Calculer la valeur numérique de l'expression 5 as + 214? —3 x + 7, pour T1).
98. Trouver la valeur de l'expression aS+3a+3a+:, | pour H==-0, 99. Quelle est la valeur numérique de l'expression
a + 22xy + y”, pour a et Yo 400. Etant donnée l'expression at DL Ga — , as b — , als, chercher les valeurs qu’elle prend quand on attribue à & et à b les valeurs suivantes :
17 20,000 29 «A ETS, CRE L I 3° ap) b— —; 4.407 bo
EXERCICES. 89 401. Valeur de l'expression 72 0? + 18ab—64a;— 81 bi, pour a = = ï
402. Valeurs numériques de l’expression dt + 405 y + CAS + A xyS + y,
1° pour EM Y—T; 2° pour nn, Y=-2; 3° pour Ci, JE 0%
403. Valeurs numériques de l'expression | (a + D2}2 — (a2 — b2}2 — ; «24e,
1° pour a 17; Dr:
2° pour de 0, b—— 30.
