Exemple IV. — Soit encore le système

LT +y—a, (HIT) TU m nn

que l’on obtient en cherchant à partager un nombre donné a en parties proportionnelles à deux nombres donnés m el n.

Comme dans l'exemple précédent, concevons une solution (æ, y) du système IIT. En vertu d’un théorème connu sur les rapports égaux, ces nombres doivent satisfaire aux égalités suivantes

LT y__LTY, Mm On min’

on voit donc que l’on a :

et, par suite,

+ am y M im Him} I mEn

il est aisé de vérifier que ces nombres satisfont bien au système (II).

On rencontre fréquemment,ce système en géométrie, par exemple quand on cherche à calculer les segments déterminés par les bissectrices d’un triangle sur les côtés, quand on cherche la surface latérale et le volume d’un tronc de cône, ete.:::

163. — Remarque. — On résout de même le système LR EUr (LIL bis) TRES | m On On trouve am an == NE .

mn ? TTmn

164. — Exemple V. — Le procédé employé dans l'exemple III, qui consiste à ajouter et à retrancher les deux équations a réussi, parce que dans les deux équations les coefficients de x ou ceux de y étaient égaux en valeur absolue. Alors, en ajoutant les équations, y disparaissait, y était éliminé. De même, en retranchant, æ disparaissait, æ était éliminé.

Lorsque les coefficients de x ne sont pas égaux, on les rend égaux en multipliant les deux équations par des facteurs convenables.

Appliquons ceci à un exemple.

Soit le système suivant

Prenons d’abord comme multiplicateurs les nombres 2 et 3. Multiplions la première par 2 et la seconde par 3. Nous obtenons les équations équivalentes (n° 141) :