TL 37 7Y T1 = Z+Y

Chassons les dénominateurs. Les équations s’écrivent : 3æT—2y +42 — 127 +6, Z—21y +3 — 3x +3y.

Ramenons à la forme réduite (IV) (n° 465) et le système devient : 9Z7+2y — 36, a -R21y 18;

Éliminons y. Multiplions la première par 24 et la seconde par 2 et retranchons et 1l vient :

(24:9—2-2)x — 36-24 —3:.2 ou 212-300.

Ce qui donne . 858 429 7 212 106 Éliminons de même x. Multiplions la première équation par 2 et la seconde par 9 et retranchons, il vient : | (24:9—2:2)y — 3:9—36.2 ou 2127—=—45; ce qui donne :

Remarque. — On peut quelquefois employer des multiplicateurs plus simples que ceux fournis par la règle précédente. Ainsi pour éliminer y on aurait pu multiphier la première équation par 12 et ne pas toucher à la seconde. Les coefficients de y auraient été ainsi égaux. En retranchant on trouverait :

(12:9— 2)x — 12:36 — 3 ou En "MARI O0Û 167. — Exemple d’impossibilité. — Il peut fort bien arriver qu'un système de deux équations à deux inconnues soit impossible, c'est-à-dire n'ait pas de solution. En

voici un exemple :

ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ. 121 Soit à résoudre le système :

Si on prend comme multiplicateurs 3 et (— 2) et si on ajoute membre à membre on trouve

OCR OUI.

Toute solution (x, y) du système donné doit satisfaire à cette équation. Or, celle-ci est évidemment #mpossible, donc il en est de même du système proposé.

168. — Exemple d’indétermination. — Il peut également se faire qu’un système d'équations soit indeterminé, c'est-à-dire soit vérifié par une infinité de valeurs des inconnues.

Considérons par exemple le système :

Si on prend comme multiplicateurs 3 et (— 2) et si on

ajoute, on trouve l'égalité

OL Ooy—0;

qui est vraie, quelles que soient æ et y.

Nous allons voir que le système se réduit au fond à une seule équation.

En effet, multiplions les deux membres de la première

équation par 5’ nous obltenons une équation équivalente (n° 441); or, cette dernière est précisément la deuxième équation du système donné. Donc, le système se réduit à l'équation unique

On voit alors que l’une des inconnues, y par exemple, est indéterminée, c'est-à-dire arbitraire. Mais si la valeur

TUE, Ver Es ( CAEN * AE ul A. ALLUME s M dé

de y est choisie, celle de x est déterminée par la formule __6y+u D = —

On dit que le système est indéterminé.

Il y a une infinité de solutions. On peut se donner arbitrairement la valeur de y et calculer la valeur correspondante de æ. Ainsi

nl nl

AT UE 45 Hd VERTE LT Se POULE elc...,

sont des solutions.

169. — Équations à plusieurs inconnues.— Méthode de substitution. — Les méthodes de résolution que nous venons d'exposer pour deux équations du premier degré à deux inconnues pourraient s'étendre à des systèmes d'équations du premier degré contenant plus de deux inconnues, nous nous contenterons de donner la méthode de substitution, qui s'applique sans modifications.

Règle. — Pour résoudre un système d'équations du premier degré, le nombre des équations étant égal au nombre des inconnues :

On résout l’une des équations par rapport à l'une des inconnues qu'elle contient; |

On substitue la valeur de cette inconnue dans les équations restantes.

Ces équations restantes forment ainsi un nouveau système contenant une équation et une inconnue de moins que le précédent.

On recommence sur ce système comme sur le système proposé et on continue jusqu’à ce qu'on parvienne à une dernière équation à une seule inconnue, qui donne la valeur de cette inconnue.

En portant cette valeur dans l'équation résolue précédente on aura la valeur d’une seconde inconnue, et ainsi de suite en remontant de proche en proche et en portant dans les équations résolues les valeurs des inconnues déterminées.

Appliquons à des exemples.

170. — Exemple I. — Résoudre le système HE Lies 4 (1) y—L+2—0, 3 3 — Y —1—0.

De la première équation Je tire :

et je substitue cette valeur de x dans les deux autres, ce qui donne un système de deux équations à deux incon-

nues :

HA Vuse

33—Y—1—=0, De la première équation de ce nouveau système je tire : (4) Y=3+1, et je porte cette valeur dans la dernière qui devient : 33— (3 +1) —1—o.

Cette dernière donne :

D 2, d'où El.

En portant cette valeur de z dans l'équation résolue (4). On a :

DEN Qt ee Enfin, en portant la valeur de 3 dans l'équation résolue (2) on a :

ES Em BE ee 16 mm VE Le système admet donc la solution