PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ, FONCTION LINÉAIRE
$ 1. — Problèmes numériques à une inconnue.
172. — Définitions. — Rappelons d’abord ce que nous avons déjà dit au n° 7.
Résoudre un problème, c’est calculer certaines quantités qu'on appelle les inconnues, connaissant d'autres quantités appelées données et sachant qu'il existe entre les données et les inconnues certaines relations.
Énoncer le problème, c'est exprimer, en langage ordinaire, les relations qui existent entre les données et les inconnues.
Résoudre le problème, c'est trouver les valeurs des inconnues qu'on appelle solutions.
Ainsi, lorsque je dis :
Trouver un nombre qui, divisé par 3, diminue de 30,
J'énonce un problème. Les données sont 3 et 30. L'inconnue est le nombre cherché. Résoudre ce problème, c’est trouver ce nombre qui sera la solution.
Avant de donner des conseils et des règles pour la réso-
lution des problèmes, nous traiterons quelques exemples.
173. — PROBLÈME I. — Trouver un nombre qui, divisé par 3, diminue de 30.
Désignons par æ le nombre cherché. Son quotient par 3
#4 est —.
51 æ est le nombre cherché, T doit être égal à æ — 30, on
doit donc avoir
+) DORE Er | t 2 . x Û \ ; r
Réciproquement tout nombre x qui vérifie cette équation est une solution.
On obtiendra donc la ou les solutions en résolvant cette équation du premier degré.
Chassons les dénominateurs, il vient :
X—3X—90 ou 24% — 00, LA D.
Le nombre cherché est 45.
174. — PROBLÈME II. — Un père a 30 ans; son fils a 4 ans. Dans combien d'années l'âge du père sera-t-il double de l’âge du fils? |
Désignons par æ le nombre d'années cherché. Dans æ années l’âge du père sera 30+2x et l’âge du fils sera 4 + x.
Si æ est bien le nombre cherché, l’âge du père 30 + x
devra être égal à 2 fois l’âge du fils 4 + x. On devra donc avoir
Réciproquement le nombre + qui vérifie cette équation répondra à l'énoncé, ce sera donc la solution.
Il nous faut résoudre cette équation du premier degré qui s'écrit : | 30+L—8+2x d’où 20 — x — 30 — 8
ou L== 22;
C’est donc dans 22 ans que l’âge du père sera double de celui du fils. En effet, le père aura alors 30 + 22—52 ans et le fils aura 4 + 22— 26 ans.
175. — Mise en équations. — Ces deux exemples nous suffisent pour voir quelle est la marche générale qu'il faut suivre pour résoudre un problème :
Cat Ou x ot PL de Lib. 3 14 |
Après avoir désigné les inconnues par des lettres æ, y..., on écrit, d'après les indications de l'énoncé, les égalités qui permettraient de vérifier les valeurs x, y... des inconnues si elles étaient connues.
Les égalités que l'on obtient ainsi sont les équations du problème et il ne reste plus qu'à résoudre ces équations pour avoir les solutions.
Un problème est dit du premier degré lorsqu'il ne conduit qu’à la résolution d'équations du premier degré.
176. — Choix des inconnues. — Généralement, l'énoncé même du problème indique quelles sont les inconnues.
Ainsi, dans le problème TI, l'énoncé àit : « h'ouver un nombre qui. » Il est clair que l’inconnue est ce nombre.
Mais il arrive quelquefois que l'énoncé ne précise pas exactement quelles sont les inconnues. Dans ce cas, faut prendre pour inconnues des quantités telles que leur connaissance suffise à fixer sans ambiguïté le résultat cherché.
Ainsi, J'aurais pu énoncer le problème IT de la façon suivante :
Un père a 30 ans; son fils a 4 ans. Peut-il arriver qu'à un certain moment l’âge du père soit double de celui du fils ?
Ici, l'inconnue n'est pas précisée. On aurait alors pu prendre pour inconnue diverses quantités ; soit, ce que nous avons fait, le nombre d'années au bout desquelles l’âge du père sera double de celui du fils; soit l’âge qu'aura le père au moment cherché ; soit l’âge qu'aura le fils à ce moment.
Toutes ces inconnues auraient été également bonnes.
Reprenons ce problème en prenant l’âge du père comme Inconnue +.
Il suffit de remarquer que le fils à 26 ans de moins que le père. L'âge du fils sera alors z— 26 et on aura l'équation
æ—2 (x — 26) qui donne CEE à Cependant le choix des inconnues ne doit pas être fait au hasard, et il faut toujours donner la préférence aux inconnues grâce auxquelles la mise en équations est la plus simple possible.
Nous verrons, plus loin, qu'il faut encore prendre des précautions lorsque les inconnues sont susceptibles d’être comptées dans des sens différents.
Appliquons ces généralités à des exemples.
177. — PROBLÈME III. — Trouver un nombre entier de deux chiffres sachant que le chiffre des dizaines est le double du chiffre des unités et que lorsqu'on intervertit les deux chiffres le nombre diminue de 27.
Ici on ne peut pas prendre comme inconnue le nombre entier cherché, car en réalité, il y a deux inconrues qui sont les deux chiffres du nombre cherché. D'ailleurs, lorsqu'on connaît le chiffre des unités, on connaît immédiatement celui des dizaines. On peut donc prendre comme unique inconnue æ le chiffre des unités. Celui des dizaines est alors 2x.
Le nombre cherché est alors 2xæ X 10+x—01x
Le nombre obtenu en intervertissant les chiffres est : DR AD TEEN D)
En écrivant l'égalité qui doit être vérifiée d’après l'énoncé, on a l'équation :
9T— 27, JA 7 d'où Mine
Le chiffre des unités est 3; celui des dizaines est 6. Le nombre cherché est 63.
178. — Problèmes impossibles. — Un problème peut être 2mpossible pour deux raisons :
1° Îl peut arriver que les équations auxquelles on parvient n'aient pas de solution ;
2° Il peut arriver que les équations, ayant des solutions, ces solutions ne conviennent cependant pas à l'énoncé, parce
Édt Men à
PTE RS
Latines di mmticnééi- és = 7
Essen E
RCE PET NE.
PL
hé
mL en té
que les quantités que l’on cherche doivent satisfaire à certaines conditions restrictives.
Ainsi, par exemple, dans le problème IIT, l’'inconnue x était un
chæfre. La solution n’était donc acceptable qu’à condition qu’elle soit un nombre entier, positif et plus petit que 10.
Donnons quelques exemples de ce genre de problèmes.
479. — PROBLÈME IV. — Trouver un nombre dont la moitié diminuée du tiers et augmentée de 12, soit égale au sixième de ce nombre augmenté de 4.
Soit + le nombre cherché.
D’après l’énoncé, on doit avoir :
ou, en chassant les dénominateurs, 3X—9220+72—X + 94, ou 3%—2%—X— 24 — Ja, ou 0.0 —= — 48.
Cette équation n’a pas de solution. Le problème proposé est donc impossible.
180. — PROBLÈME V. — Une personne a payé 50 francs avec 8 pièces d'argent de 5 francs et de 2 francs. Combien a-t-elle donné de pièces de 5 francs et combien de pièces de 2 francs?
Désignons par æ le nombre des pièces de 2 francs.
Le nombre des pièces de 5 francs sera 8 — x.
La somme payée sera alors 5 (8—x),+ 2x francs; d’après l'énoncé cette somme doit être 50 francs, on doit donc avoir |
5(8— x) +2æ—50, ou 40— 5x+2x—bo.
En résolvant, on trouve :
La valeur de æ est fractionnaire et négative; or, d’après la nature même de la question, la valeur de x doit être positive, entière et au plus égale à 8. Le problème n'a donc pas de solution.
REMARQUE. -— Le problème aurait eu une solution si, par exemple, la somme payée était : 3r francs.
On aurait alors :
4o—5 z+2x—31 d'où AS
Le nombre des pièces de 2 francs serait 3 et le nombre des pièces de 5 francs serait 8—3—5,
$ 2. — Solutions négatives, discussions.
181. — Solutions négatives qui s’interprètent. — Lorsqu’en résolvant un problème qui, d’après sa nature, ne doit admettre que des solutions positives, on trouve une solution négative, c’est que le problème est impossible.
C’est, par exemple, ce qui s’est présenté a le problème V. |
Mais, dans certains cas, lorsque l’inconnue est une grandeur susceptible d’être comptée dans deux sens. opposés : un temps, une distance, une somme d'argent qui peut être gagnée ou perdue, il peut arriver que la solution négative puisse s’interpréter.
Il peut arriver que le signe (—) qui se trouve devant l'inconnue indique que l’on doit compter cette inconnue dans le sens opposé à celui dans lequel elle est CORIEE dans l'énoncé. |
Pour vérifier si cette interprétation est bien exacte, voiei ce qu'il faut faire :
On choisit comme sens positif pour l’inconnue le sens dans
lequel elle est comptée dans l'énoncé et on désigne par æ la mesure algébrique de cette inconnue.
Ph MUR LETTRE PONT OT AS CT Op © 7 RU Ph Less Rey n Jia RPC TU NON ,
On met de nouveau le problème en équation en ayant soin de le faire d'une façon générale en appliquant les théorèmes du chapitre II.
Si la solution négative s'interprète, la nouvelle équation doit être identique à celle obtenue précédemment.
Traitons quelques exemples. .
1482. — ProBLèME VI. — Un père a 6o ans, son fils a 34 ans. Dans combien d'années l'âge du père sera-t-il double de celui du fils?
Soit æ le nombre d'années. L’énoncé donne :
On en tire dx — — 8.
D’après l'énoncé tel qu'il est posé la valeur de + devrait être positive; mais, comme il s’agit d’un temps, le signe (—) pourrait peut-être signifier que c'était y a 8 ans que le père avait l'âge double de celui de son fils.
Pour le voir, supposons que æ soit un nombre positif ou négatif, suivant que le moment cherché suit où précède l'instant actuel.
L'âge du père à l'instant æ sera dans tous les cas 60 + æ, celui du fils sera 34 + æ, on parvient donc à la méme équation que plus haut
La solution négative s’interprète donc bien. C’est à y a 8 ans que le père, qui avait alors 60 — 8— 52 ans, avait un âge double de celui de son fils, qui avait alors 34 — 8 — 26 ans.
183. — PROBLÈME VII. — Deux courriers partent ensemble de deux points À et B d’une même route et marchent tous deux dans le sens de À vers B. Le premier courrier marche à 15 kilomètres à l'heure et part de A; le second courrier marche à 18 kilomètres à l'heure et part de B. À quelle dis-
tance de B se rencontrent-ils, sachant que la distance À B est de 42 kilomètres?
Soit æ la distance cherchée, en kilomètres. Le premier courrier aura parcouru æ + 42 kilomètres et aura mis æ + 42
E heures pour l’effectuer. Le second courrier a par-
couru la distance æ et aura mis = heures. Lorsque les
courriers se rencontreront on devra avoir :
LD ATÉ ou 6x +252 — 5%.
On en tire :
Len
La valeur trouvée pour x est négative. La rencontre n’a donc pas pu avoir lieu après le point B.
On est conduit à se demander si la rencontre n'avait pas pu avoir lieu avant B, en supposant que les deux courriers suivaient toujours la route dans le même sens et marchaïent tous deux avant de passer en A et B.
Modifions donc l'énoncé de la façon suivante :
Deux courriers marchent sur une même route dans le sens de À vers B. Le premier courrier fait 15 kilomètres à l'heure; le second courrier fait 18 kilomètres à l'heure. Lorsque le premier courrier a passé en À le second courrier était en B. À quelle distance de B les deux courriers se sont-uls rencontrés, sachant que la distance AB est de 42 kilomètres?
Dans ce nouvel énoncé on ne suppose rien sur le point de rencontre des deux courriers, on ne dit pas s'ils se sont rencontrés avant ou après B.
Prenons alors, sur la route, comme sens positif le sens de A vers B et désignons par æ la distance du point B au point de rencontre M, cette distance étant comptée posi-
tivement dans le sens AB et négativement dans le sens contraire.
Prenons pour inconnue le segment BM —x.
Le segment AM est égal en grandeur et en signe à
AM—AB + BM—i2 + æ.
D'après la formule (>) du n° 99, le temps écoulé à partir
: L du passage des courriers en À et B sera — pour le
: a premier et g Pour le second. On aura donc :
AE LC RANCE, C’est la même équation que plus haut.
La solution négative æ — — 252 s’interprète : La rencontre avait eu lieu 252 kilomètres avant le point B.
184, — Cas général. — D'après les exemples que nous venons de traiter, nous voyons que chaque fois que nous avons pu interpréter une solution négative, cela tenait à ce que le problème était mal posé. Cela tenait à ce qu’on
avait fait par avance dans l’énoncé une supposition sur le
sens de l'inconnue, supposition qui se trouvait être inexacte.
Lorsqu'un problème de ce genre est bien posé, on ne doit faire dans l’énoncé aucune supposition sur le sens de l'inconnue. On peut alors de suite affecter l’inconnue d’un sens et d’un signe et éviter de refaire une seconde fois le problème.
Nous sommes ainsi amenés à la règle générale que voici :
Lorsque, dans un problème, l'inconnue peut être comptée dans deux sens opposés, on doit de suite choisir un sens
positif pour cette inconnue et désigner par x la mesure algébrique de l’inconnue.
4 j 6 SN UE PENSE visa | d "Le À Tue"
Il faut ensuite avoir soin de mettre le problème en équation d'une façon tout à fait générale, de façon que l'équation soit bonne dans tous les cas.
La solution trouvée a alors toujours un sens.
485. — PROBLÈME VIII. — Un joueur entre au jeu avec 200 francs. Il joue deux parties. À la première partie 1l gagne le double de ce qui lui reste à la fin de la seconde partie. A la seconde partie il perd 300 francs. Quelle somme a-t-il gagnée ou perdue? |
Soit x le nombre de francs gagnés ou perdus, æ étant positif si c’est un gain et négatif si c’est une perte.
I] lui reste à la fin des deux parties 200 + x francs.
D'autre part, à la première partie, il gagne 2 (200 + x) francs. Il a donc à la fin de cette première partie 200 + 2 (200 + æ) francs. Il perd 300 francs à la seconde partie. I] lui reste donc finalement 200 + 2 (200 + x) — 300. On doit ainsi AVOIT :
200 + 2 (200 + æ) — 300 — 200 + x ou 200 + 400 + 2% — 300 — 200 +.
D'où LL — 100,
Le joueur a perdu 100 francs.
186. — Discussions. — Lorsque les données d’un problème, au lieu d’être des nombres, sont représentées par des lettres, la solution trouvée est une expression algébrique de ces lettres. La valeur numérique de l'inconnue dépend alors des valeurs numériques des inconnues.
Discuter un tel problème, c'est alors étudier, suivant les valeurs attribuées aux données : 1° si le problème admet une solution acceptable ; 2° quelle est la nature du résultat.
Nous nous contenterons d’examiner ici des cas très simples.
A. Lx
"te & :
