DES 00: X
Éliminons x et il vient :
5 UE 85, y — 17.
Le rapport cherché est
496. — PROBLÈME XIII. — Deux courriers À et B partent de deux villes distantes de 46 lieues et vont à la rencontre l’un de l’autre. Lorsque À part 5" 3/4 avant B, leur rencontre a lieu 6" 1/8 après le départ de B. Mais lorsque B part 5" 3/4 avant À, leur rencontre a lieu 5" 5/8 après le départ de A. Quelles sont les vitesses de À et B?
Soit æ la vitesse de À, y la vitesse de B, en lieues à l'heure.
Dans le premier cas, À marche pendant 5" 3/4 + G* 1/8,
soit pendant 2: il fait donc æ (rs +?) lieues. De
son côté, B ne marche que pendant 61/8; ïl fait
dont y (6 +- :) lieues. |
La somme des distances parcourues par ces deux courriers est de 46 lieues.
On a donc :
a (ns +2) +u(6+3)=46 8 8 Dans le second cas, A marche pendant 65/8; ïül \ 5"3/4 + 5" 5/8, soit pendant 11° 2 il fait donc y (a + 5)
lieues.
fait donc a(s +3) lieues, tandis que B marche pendant
£ æ L &r le MAP L' ” ROC ee N tp VIEN MX APS Re a VOLE En dE #> L4 2 = Las | ee Lu AE nr r
“HE L'HA . ; Le da VE \ :
Le
En écrivant que la somme des distances parcourues est de 46 lieues, on obtient :
Chassons les dénominateurs et nous avons les deux équations :
Rs te 45 x + 91y — 368.
En résolvant, on trouve :
4 12 20 #4 HT E y sie Le courrier A fait donc 2 lieues 2/5 à l'heure. Le courrier B fait 2 lieues 6/7 à l'heure.
497. — PROBLÈME XIV. — Partager 232 en trois parties telles que si on ajoute à la première la demi-somme des deux autres, qu'on ajoute à la seconde le tiers de la somme des
deux autres et qu'on ajoute à la troisième le quart de la
somme des deux autres, les trois sommes ainsi obtenues
soient égales.
Soient æ, y, 3 les trois nombres.
D’après l'énoncé on a :
TX H+y+3— 923, MAR the pu
CT +Y Ce système s'écrit :
En résolvant, on trouve :
Ci 40! y — 88, 4104:
Ce sont les nombres cherchés.
ÿ A. — Variation de la fonction linéaire.
198. — Variables. — On dit qu’une quantité est variable lorsqu'elle peut prendre diverses valeurs, lorsqu'elle peut VArTICr.
Une variable est dite indépendante lorsqu'on peut lui donner n'importe quelle valeur, positive ou négative, aussi grande ou aussi petite qu’on le voudra. En d’autres termes, une variable est indépendante lorsque les valeurs qu'elle peut prendre ne dépendent de rien autre.
Nous désignerons, en général, une variable indépendànte par la lettre æ.
199. — Fonctions. — Une quantité variable est dite fonction d’une autre variable indépendante lorsque sa valeur dépend de celle de la variable indépendante.
Une variable qui est fonction d’une autre est encore appelée variable dépendante de cette autre.
Par exemple, la longueur de la circonférence d’un cercle est une fonction du rayon de ce cercle; le chemin parcouru par un mobile qui se meut avec la vitesse de 4 mètres à la seconde dépend du temps pendant lequel ce mobile a marché, ce chemin est donc une fonction du temps du parcours.
En physique, on rencontre sans cesse des exemples de fonctions. Ainsi, on sait que la longueur d’une barre de fer varie avec la température. Quand on chauffe la barre, elle s’allonge ; quand on la refroidit, elle se raccourcit. La longueur d’une barre de fer est done fonction de sa température.
Nous désignerons généralement une variable dépendante, une fonction par la lettre y.
Dire alors que la variable y est une fonction de la variable indépendante +, c’est dire que l’on connaît, que l’on sait calculer la valeur de y quand on connaît la valeur de æ.
Ainsi, s1 le rayon d’un cercle est x, sa longueur y est donnée par
la formule ÿ—= arr où 506 "Fit
Ce CPE LE
VTT TTL.
Es]
NL 'O
NX
#" GX 12
Donc lorsqu'on connaît æ, on sait calculer y. Par exemple : pour LET on a y—6",283)2, pour V0; on à y—18",8496,
et ainsi de suite.
De mème, si on désigne par y le chemin parcouru par un mobile
dans le temps x, à la vitesse de 4" à la seconde, on à : V=S AT, formule qui permet de calculer y quand on connaît x : DORE == ALORA Ly=8 one r=S" AONANRY—- Ia" POUR T0, 2000 amy 207,8, | et ainsi de suite.
Il résulte de là que :
Lorsqu'une quantité 1 est fonction d’une variable x, il existe une formule qui permet de calculer y chaque fois qu'on connaît w.
C'est cette formule qui définit, au point de vue mathématique, la fonction y de la variable x.
200. — Fonction linéaire. — Les plus simples des fonctions sont celles dans lesquelles y est un polynôme du premier degré en +.
Ces fonctions sont appelées fonctions linéaires.
Ainsi, légalité
(1) y=4T—S définit une fonction y de la variable x. La valeur de y dépend de celle de x. Quand on connaît la valeur de x on sait calculer celle de
y. Or, 4x— 5 est un polynôme du premier degré en x. La fonction y définie par l'égalité (1) est donc une fonction linéaire.
Donc :
On dit que y est une fonction linéaire de % lorsque 7 est égale à un polynôme du premier degré en x, C'est-àdire lorsque les valeurs de y sont données par une formule de la forme :
y —ax + b, où «a et b désignent des nombres fixes donnés, ce qu’on appelle des constantes.
Les exemples que nous avons donnés plus haut : la longueur d’une circonférence en fonction du rayon, le chemin parcouru par un mobile en fonction du temps, la longueur d’une barre de fer en fonction de la température, sont des fonctions linéaires.
Au contraire, par exemple, l’aire d’un cercle n’est pas une fonction linéaire de son rayon. Car, si on appelle y l'aire du cercle et x son rayon, On à :
y—=Trxi—3,1416 . x?
y est du second degré en x. Ce n’est donc pas une fonction linéaire.
201. — Croissance. — On dit qu’une fonction est eroissante lorsqu'elle varie dans le même sens que la variable dont elle dépend.
En d’autres termes :
Lorsqu'une fonction est croissante, sa valeur augmente, croît, lorsque la valeur de la variable augmente.
Ainsi, la longueur d'une circonférence de cercle est une fonction croissante de son rayon, car, quand le rayon augmente, la longueur de la circonférence augmente.
De même, la longueur d’une barre de fer est une fonction croissante de la température, car, quand la température s’élève, la barre
ae ter s’allonge.
202. — Décroissance. — On dit qu'une fonction est décroissante lorsqu'elle varie en sens inverse de la variable dont elle dépend.
En d’autres termes :
Lorsqu'une fonction est décroissante, sa valeur diminue, décroit, lorsque la valeur de la variable augmente, croît.
Considérons un cylindre plein d'air et fermé par un piston. Quand on presse sur ce piston il s'enfonce, l'air est comprimé et son volume diminue.
Le volume de l’air emprisonné dans le cylindre est donc une fonction de la pression exercée sur le piston. Cette fonction est décroissante puisque quand la pression augmente le volume diminue.
203. — Remarque. — Il résulte de ce qui précède que pour voir si une fonction est croissante ou décrois-
sante, il suffit de donner à la variable deux valeurs quel-
nait 7 d nl ane
conques et de regarder quelle est la plus grande des deux valeurs correspondantes de la fonction.
Si à la plus grande valeur de la variable correspond toujours la plus grande valeur de la fonction, cette fonction est croissante.
Si à la plus grande valeur de la variable correspond, au contraire, toujours la plus petite valeur de la fonction, cette fonction est décroissante.
204. — Théorème I. — La fonction linéaire est croissante ou décroissante suivant que le coefficient de x est positif ou négatif.
Soit y—= ax + b,
une fonction linéaire. Donnons à æ deux valeurs absolument quelconques x’ et x” et supposons que l’on ait
x’ ss x".
Pour ces deux valeurs de æ, la fonction y prend deux valeurs correspondantes, y’ et y” :
y —=ax + b, Vrai + b.
Nous distinguerons deux cas :
205. — 1° Supposons a > 0. — On peut alors (n° 70) multiplier les deux membres de l'inégalité x’ . F8 par a et on obtient l'inégalité de même sens : ax > ax”.
Aux deux membres de cette inégalité on peut ajouter le même nombre b (n° 69), et il vient :
ax +b> ax" +0,
ce qui exprime que :
y' es CE
La fonction est donc, dans ce cas, croissante, puisqu’à la plus grande valeur +’ de æ correspond la plus grande valeur y’ de la fonction.
Ainsi, la fonction
Yy—= 4x —5
est croissante. Donnons à æ une série de valeurs croissantes ; nous obtenons pour y la série de valeurs correspondantes qui suivent et qui sont bien croissantes :
POUErTE= 2, ON A: Y—=—1II, ) 1h ji ) Y—=— 7; » Ge LR Da EYE, ) LE 1, ) V=== xr, ) Ter Dour 5e D PETER Di AQU re
et ainsi de suite. Les valeurs — 11, — 7, —3, 1, 5, 9, etc. de y vont bien en croissant.
206. — 2° Supposons ao. — Lorsqu'on multiplie les deux membres de l'inégalité DD par a qui est négatif, l'inégalité change de sens (n° 70) et On a :
ax'< ax":
Aux deux membres de cette inégalité, ajoutons le même nombre b (n° 69) et nous obtenons
ax’ + b <ax” + b, ce qui exprime que Pie ” DRE La fonction, dans ce cas, est donc décroissante, puisqu’à la plus grande valeur +’ de la variable æ correspond Ja plus petite valeur y’ de la fonction y.
Par exemple, la fonction Y—7—2X
ost décroissante.
RÉ LL hé mnt © Ds, de Ce CO D de
Donnons à x une suite de valeurs croissantes :
pour Z——)2, ON AU TI, » X—=—1, D AUTE=U0), » 309; DR; » DETME, DATE UD, » Tata, » VS, » PS, » JR, ) rires SORT ) == =); et ainsi de suite. Les valeurs 11, 9, 7, 5, 3, 1, - 1, etc... de y
vont bien en décroissant.
207. — Théorème II. — Pour des valeurs de la variable infiniment grandes, la fonction linéaire est infiniment grande et du signe du terme en «.
Prenons un exemple numérique.
Considérons, par exemple, la fonction A 4 Y= — —3.
Je dis que pour des valeurs de x très grandes et positives, y est très grand, aussi grand qu’on le voudra, et positif. Supposons, par exemple, qu'on veuille que y soit plus grand que 1 000 000.
Il suffit pour cela qu’on ait
æ ER > I 000 000.
C’est une inégalité à résoudre (n° 455) et on en tire Œ >> 10 000 030.
I1 suffit donc de donner à æ une valeur plus grande que 10000 030 pour que y soit plus grand que 1 million.
On pourrait de même donner à æ des valeurs assez grandes pour que y soit plus grand qu'un milliard, qu’un trillion, etc... |
Donnons à æ des valeurs très grandes et négatives; nous allons voir que y deviendra très grand en valeur absolue mais négatif.
Supposons, par exemple, qu’on veuille que y devienne plus grand que 1 milliard en valeur absolue, mais négatif. Ceci revient à dire que y devra être plus petit que — 1000000000. On devra donc avoir
Er — — 3 <Z — I 000 000 000.
D'où on re
Il suffit donc que æ soit en valeur absolue plus grand que 9 999 999 970 et négatif pour que y soit négatif et plus grand en valeur absolue qu'un milliard.
208. — Nous avons pris dans l'exemple précédent une fonction linéaire dans laquelle le coefficient de x est positif. L’inverse aurait lieu si le coefficient de æ était négatif. |
51 nous considérons, par exemple, la fonction
BTE L'ErE - or — 0,5.%,
il est facile de voir que, quand x est très grand et positif,
y est très grand en valeur absolue et négatif. Par
exemple :
-POur æÆ— 1 000 000, y = — 499 999,8, pour æ— 1 000 000 000, y — — 499 999 999,8,
et ainsi de suite.
Quand x est très grand en valeur absolue et négatif, |
y est très grand et positif.
Pour æ—— 1 000 000, y — 500 000,2, pour æ—— 1 000 000 000, y — 500 000 000,2,
et ainsi de suite.
