Lorsque l'on a une suite de quantités

et que l'on retranche chacune d'elles de la suivante, les résultats obtenus se nomment les différences premières de ces quantités et se désignent par la caractéristique A placée devant le terme soustrait, de cette manière :

A?i„ = «, — «0, \ii ^= II, — «,, Aw, ^= "3 — «;,....

Les diflerences premières forment une nouvelle suite

dont les différences, par rapport aux termes de la suite primitive, se nomment différences secondes. On les désigne par la même caractéristique A, affectée de l'indice 2 placé en exposant, comme il suit :

A'«o= A Am„ = A?i, — Atto, A'u, =^ A A?i, ~~ Au, — A«,,

Les différences secondes donneront lieu à des différences troisièmes, celles-ci à des différences quatrièmes, et ainsi de suite. Ces divers ordres de différences

s'exprimeront par A', A',. . ., et l'on aura, en général, A''u„= A''-'^/„^,— ^''~'ll„.

2. Lorsque la suite primitive est illimitée, il y a des difTérenccs de tous les ordres; mais, si elle se compose d'un nombre fini m de termes, on voit qu'il n'y aura que m — i différences premières, m — 2 différences secondes, une seule différence {/n — i)''"", et il n'y aura pas lieu de considérer de différence dont l'ordre dépasse m — i.

Si les différences d'un certain ordre étaient constantes, les différences de l'ordre suivant, et par suite celles d'un ordre supérieur, seraient nulles. C'est ce qui arrive dans l'exemple suivant, où u^ = «- :

u au S'il \'u

Nous reviendrons sur ce résultat, qui tient à un théorème général; mais nous remarquerons le parti que l'on peut en tirer pour former rapidement une Table des carrés.

Supposons qu'on ait d'abord écrit les deux premiers nombres de la première colonne et le premier de chacune des colonnes suivantes : je dis qu'on pourra continuer le tableau aussi loin qu'on voudra par de simples additions.

En effet, si l'on ajoute o, premier nombre de la troisième colonne, au nombre i , qui est sur la même ligne dans la deuxième, on formera 3; en ajoutant 3 à 1, on aura /|, carré de 2.

Si l'on ajoute 2 à 3, on aura 5; 5 à ^, 9, carré de 3; et ainsi de suite.

Les cubes donnent lieu à une remarque analogue : seulement lés différences ne sont constantes qu'à partir du troisième ordre.

Etant donné m~i-i nombres «„ n^,.. , 11^, trouver . 1° l'expression du terme général u„ en fonction du premier terme m, et de ses différences successives ; 2° l'expression de A" u^ en fonction des nombres proposés.