Expression de ii,^. — On a, par définition

Ajoutant ces trois égalités membre à membre, on trouve

La même formule, appliquée à la suite Ar/„, Su,,. . ., donne A«, :^ Af/, -(- 2 A-«„ -^ A'//„;

T)ES DIFFÉRENCES. 63q

on a d'ailleurs, par définition,

i/j = 11^ -h àti^ • ajoutant ces trois égalités, on aura, après réduction,

11,^^ «0+ 3 Aj/(|+ 3 a- «,,-)- A^?/(,;

et ainsi de suite.

Les coefficients de u^ étant ceux du carré d'un binôme, les coefficients de u, ceux du cube, on est porté à conclure que la formule générale doit être

" ( n — 0 , (i) ii„ = u„ -h n Aug H ■ A'Hg -H. . . .

Pour s'assurer de la justesse de cette induction, il sufiît de chercher si celte loi, étant vraie pour l'indice n, l'est encore pour l'indice suivant n-hi.

Soient i. A, B, C,... les coefficients de la n'"''' puissance d'un binôme, et supposons qu'on ait trouvé

La même formule, appliquée à la série des différences premières, donne

Ah„ = A«o -4- A A'- II, -h B A' K„ -H C A* ii„ -■-

On a d'ailleurs, par définition.

Ajoutant ces trois égalités, on trouve, toutes réductions faites, "„+,= «o-t-(A -^ i)Af<„-f-(B-f-A)A'n„-.^

Or on sait que, si i, A, B, C, ... sont les coefficients delà n'™" puissance d'un binôme, i, i -H A, A -i- B, B -4- C, . . . sont les coefficients de la (n -i- 1 )'""« puissance. Donc le théorème s'applique à "„^.,.

La formule (i) peut s'écrire symboliquement

pourvu qu'après le développement, effectué comme s'il s'agissait de multiplier par H„ la n"""^ puissance du binôme i -+- A, on considère les exposants comme des indices.