SUR LA MÉTHODE DE NE^^'TOX

Dans ce second cas, en partant de la valeur approchée par excès OB == h, on aura une nouvelle valeur approchée dans le même sens, si l'on retranche de OB la valeur absolue de la sous-tangente BE,

fib)

et cette formule donnera des valeurs toujours approchées par excès et convergeant vers la véritable racine.

4. Dans tous les cas, si l'on mène la corde MN, qui rencontre l'axe des x en D, le point R sera compris entre le point C et le point D {fig. i), ou entre le point E et le point D (fg. 2). OD sera donc une limite supérieure de la racine OR si l'arc MR est convexe par rapport à l'axe des x, et une limite inférieure dans le cas contraire.

On trouve, en calculant OD par les règles de la Géométrie analytique,

5. En résumé, pour rapprocher indéfiniment d'une racine, on en déterminera d'abord deux limites a et b, l'une inférieure, l'autre supérieure. Ces deux limites devront être assez rapprochées pour ne comprendre aucune racine des équations /'(x) = o, /"" (x) = 0, afin que la courbe qui a pour équation ^- =^/(ar) n'ait, entre les points M et N, ni tangente parallèle à l'axe des x, ni point d'inflexion.

Ces conditions étant remplies, il peut se présenter deux cas. Si /"(à) est de même signe que f{a), ce qui correspond au cas où l'arc MR (;st convexe par rapport à l'axe des x,

seront deux nouvelles valeurs approchées de la racine.

Si /"(a) est de signe contraire à /(a), ce qui correspond au cas 011 l'are MR est concave par rapport à l'axe des x, on aura pour nouvelles limites

Dans tous les cas, en opérant sur les nouvelles limites de la racine, comme on l'a fait sur les premières, on se procurera une suite indéfinie de valeurs approchées et dont le degré d'approximation sera toujours connu avec certitude.

SOMMATION DES PILES DE BOULETS, (Page 596.)

\. La sommation des piles de boulets dépend de quelques-unes des formules démontrées dans ce paragraphe.

Pile triangulaire. — Dans une pile triangulaire, la base se compose de plusieurs files de boulets dont la première contient n boulets, la seconde n — i, la suivante n — 2, et ainsi de suite jusqu'à la dernière qui ne contient qu'un boulet.

Le nombre des boulets de la base est donc

H -r n — I -T- « — a -i- ...-;- 2 -t- I , ou (lo7)

La tranche horizontale située au-dessus ne diffère de la base qu'en ce qu'elle contient un boulet de moins sur chaque côté, ce qui donne pour le nombre de ses boulets

{n—^) n ■i et ainsi de suite.

Le nombre total des boulets de la pile sera donc

n(n-^i) (/i — i] n (n — a'jfn — i) . ,

c'est-à-dire, en désignant par T la somme des n premiers nombres triangulaires

Pile quadr angulaire. — Dans une pareille pile, la base est formée de «' boulets rangés en carrés; la couche qui vient après de [n — i)- boulets, et ainsi de suite jusqu'à la dernière couche qui n'en a qu'un. D'après cela, le nombre Q des boulets est donc égal à la somme des carrés des n premiers nombres : on aura donc (414)

2. Pile rectangulaire. — Dans cette pile les tranches successives sont disposées en rectangles, de telle sorte que la différence entre le nombre des boulets du grand côté et du petit côté du rectangle soit toujours la même.

Supposons que la première tranche à partir du sol contienne n boulets sur le petit côté et « -i- A sur le graaù.

SOMMATION DES PiLES DE DOCLETS. 655

La seconde tranche contiendra n — i boulets dans le sens de la largeur, et n — I -i- A dans le sens de la longueur, et ainsi de suite.

Le nombre de boulets de la première sera /a («-i-â) ou «*-)- nA; celui de la seconde (« — 0--j-(« — i)A; celui de la troisième (« — 2)--+- (« — a)/;, et ainsi de suite.

Donc, en nommant R le nombre cherché, on aura

R. = n- -r {n — !}--)-(« — 2)--T- . . . -h I -T- /i (« -h « — I -h . . .-h 2 -h I ) «(« -(-l)(2« -i- i) hn{n-Jr-i) 6 2

et, après réduction,