SUR LA MÉTHODE DE NEWTOX

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1. Cette méthode a été exp«sée dans le teste et appliquée à quelques exemples; mais il est nccessaire de la reprendre ici, soit pour l'étendre aux équations transcendantes, soit pour y apporter quelques modifications qui lui donnent un degré de certitude en harmonie avec sa simplicité et sa rapidité.

Soit f{x) = 0 une équation algébrique ou transcendante. Supposons que l'on connaisse deux nombres a &i b entre lesquels existe une seule racine de cette équation, de telle sorte que l'on ait, par exemple, ■

Supposons de plus que la différence b — a soit une fraclion assez petite, 0,1 par exemple. Soit z la quantité, moindre que 0,1, qu'il faut ajouter à a pour avoir la racine cherchée.

On a, par définition,

e étant une quantité très-petite si z est lui-même très-petit. On aura donc, en remarquant quey(rt -r- z) ;= 0,

d'où

Si donc y (a) n'est pas très-petite, ,' " ■ sera, en général, moindre que z° ou

que 0,0 j, de sorte que, si l'on prend z z^ : — -et qu'on l'aioute a a, a -h z

sera la valeur de la racine à 0,01 près.

En partant de la nouvelle valeur a -^ z, on pourra en approcher davantage

en y. ajoutant ^ , et Terreur commise sera en gênerai moindre que

0,0001 ; et ainsi de suite.

2. Les explications que nous venons de donner reposent sur quelques hypothèses qui ne se réalisent pas toujours, si l'on n'a pas déjà une valeur assez rapprochée de l'inconnue. Il existe même des cas dans lesquels l'application de la méthode de IVevvton éloignerait de plus en plus de la racine cherchée.

La considération des courbes met en évidence cette imperfection de la méthode, et montre comment on peut y remédier.

652 ^0TE vin.

Soient MN {fig- i) une portion de la courbe représentée par l'cquation

Pi le point d'intersection, correspondant à la racine cherchée. Posons OA = a, 0B=:*, AM=^/(a), BN = —/(*).

Fig. I.

Menons par le point M la tangente MC. D'après un théorème connu de Géométrie analytique, on a

tanjjMCX =/'(«); donc

tang MCA = —/'(«).

Maintenant le triangle rectangle MAC donne

AC

AM

tançr MCA

AC est donc la valeur désignée plus haut par z et que nous ajoutions à a pour cbtenir une valeur plus approchée de la racine : la fi<jure montre qu'en effet )e (■oint C est plus rapproché du point R que le point A.

3. Mais si la courbe, au lieu d'avoir la forme que nous lui donnons, était comme dans la fig. 2, on voit que la nouvelle valeur nous rejetterait au delà du

point R, et d'autant plus loin que /'(a) serait plus petite. Cette circonstance tient à ce que l'arc MR tourne sa concavité vers l'axe des x (*).

(*j Dans ce cas /"(a) çX f{cL) sont de signes contraires. Voir VJppUcaùon de l'Algèbre à la Géométrie.