On a vu en Arithmétique

I " Q((c le plus grand commun diviseur- de deux nombres entiers contient comme facteurs tous les diviseurs particuliers communs aux deux nombres^ et ne peut pas renfermer d' autres facteurs ;

2° Que le plus grand commun diviseur de deux nombres entiers est le même que celui qui existe entre le plus petit nombre et le reste de leur division.

La théorie du plus grand commun diviseur algébrique repose également sur ces deux principes, pour la démonstration desquels nous renvoyons au septième Chapitre.

Ceci admis, supposons d'abord qu'il s'agisse de trouver le plus grand commun diviseur entre les deux polynômes

d-a^b-\--àab^—Zb^ et a"" — 5 ab -i- ^b\ Voici d'abord le tableau des calculs :

Première opération :

a'— a'b^3ab^-3b')a^—5ab-hlib'

-h 4d^b — ab^— 3b'' ] a h- 4^

+ iç)ab^ — ig^' ou bien -i-iQP{a— b).

Seconde opération

5ab-+- ^b' ) a— b ^ab-i- l^b"" \ a — ù^b

Donc « — 6 est le plus grand commun diviseur.

Commençons par diviser le polynôme du plus haut degré par le polynôme du plus faible degré ; le quotient est, comme on le voit dans le tableau ci-dessus, a -\- l^b\ et l'on obtient pour reste igai^— \^b'^.

Il résulte du second principe, que le plus grand commun diviseur cherché est le même que celui qui existe entre ce reste et le polynôme qui a servi de diviseur.

Mais igrtZ»^— igè' pouvant être mis sous la forme igô'(a — ^), on voit que le facteur igè' divise ce reste sans diviser a' — 5^6 + 46^; donc, en vertu du premier principe, ce facteur ne peut entrer dans le plus grand commun diviseur; ce qui veut dire que le plus grand commun diviseur entre les quantités rt^— 5«è + 4&', \^b'^[a — b\ et par conséquent entre

38 CnAPITUE PREMIER.

les deux quantités proposées, est le môme que celui qui existe entre

a''— Sab-h 4^' et a — b.

Ainsi l'on peut, sans inconvénient, supprimer le facteur 19^'; et la question est ramenée à chercher le plus grand commun diviseur entre rt' — 5nb-i-4b^ et a — b.

Divisant maintenant le premier de ces deux polynômes par le second, on a pour quotient exact a — /\b\ donc a — ^ est leur plus grand commun diviseur, et, par conséquent, c'est aussi le plus grand commun diviseur des deux polynômes proposés.

Reprenons le même exemple, en ordonnant les deux polynômes par rapport à b.

3/;3 L. V//^' — «'/-'-4-«' et iib' — oab-^a'.

Première opération :

— vih'-^nrib^— /jn'b-i- 4^' ) /^b'—Hûb-.-a^ ■ iab'- a'b-r- 4«M -3Z>, -3«

— \iab^— ^a'b-i-iGn^

— i^a^b -t- 19«^ OU bien, -\-i<^a''[ — b -i-a).

Seconde opération :

— ab -\- a^ \ — ^b -^ a

Donc — Z» + fl, OU rt — 6 est le p. g. c. d.

Au premier abord, on est embarrassé pour faire la division des deux polynômes, parce que le premier terme - 3^»' du dividende n'est pas divisible par le premier terme 4^' du diviseur. Mais si l'on observe que le coefficient 4 de celui-ci n'est pas facteur de tous les termes de

4^»'— Sab H- «*,

et qu'ainsi, en vertu du premier principe, 4 no saurait faire partie du plus grand commun diviseur, on peut, sans aucun inconvénient, introduire ce facteur dans le dividende, ce qui donne

— lïb^ -\- \iab'— ^a'b -+- 4«'; et alors la division des deux premiers termes devient possible.

DU PLUS GRA>-D COMÎIUX DIVISEUH. Sq

Effectuant cette division, on trouve pour quotient — 3Z>, et pour reste,

Comme, dans ce reste, l'exposant de b est encore égal à celui du diviseur, rien n'empêche de continuer la division, en multipliant de nouveau ce reste par 4, afin de rendre possible la division des deux premiers termes.

Cette préparation faite, il vient —i-i.ab-—/ia^b-^i6a^, qui, divisé par 4b^— 5ab -h a^, donne pour quotient — 3^, qu'on séparera du premier terme par une virgule, comme n'ayant aucune liaison avec lui, et pour reste, — igci^b -r- i^râ.

Ce dernier reste pouvant se mettre sous la forme iga-{— b -^ a), on supprime le facteur 19a", comme ne faisant pas partie du plus grand commun diviseur ; et la question est ramenée à chercher le plus grand commun diviseur entre 4 6'— 5aè -1- a' et — b -\- a.

Divisant ces deux polynômes l'un par l'autre, on trouve pour quotient exact, — 4é-t-a; donc — b-r- aon a — ^ est le plus grand commun diviseur cherché.

36. Dans ce même exemple, comme dans tous ceux où l'exposant de la lettre principale est plus grand d'une unité dans le dividende que dans le diviseur, on peut abréger l'opération en multipliant tout de suite le dividende par le carré du coefficient du premier terme du diviseur. On conçoit, en effet, que, par ce moyen, le premier quotient partiel qu'on obtient doit renfermer ce coefficient à la première puissance. Multipliant le diviseur par le quotient, et faisant la réduction avec le dividende ainsi préparé, on a un résultat qui doit encore contenir le coefficient comme facteur; et la division, pouvant se continuer, donne un reste de plus faible degré que le diviseur, par rapport à la lettre principale.

Voici le tableau des opérations.

Première opération :

Multiplication par 16, ou par le carré de 4.

— iiab^ — 4«'^-+-j6«'\ — \ib — 3(3

i" reste — iga'è -r- iga'

ou bien, ig^'^—^ — ^

Seconde opération

4 ^" — 5 rt/; -+- (?' ) — b -^ a -Jb-

4o CIUriTRE rUEMIER.

iV. B. Si l'exposant de la lettre principale dans le dividende surpassait de deux, de trois. . ., unités, l'exposant de la même lettre dans le diviseur, il faudrait multiplier le dividende par la troisième ou la quatrième puissance du coefficient du premier terme du diviseur : cela est aisé à concevoir.

37, Soient, pour second exemple, et

Avant de procéder à la division de ces deux polynômes, commençons par observer que le premier contient a comme facteur commun dans tous ses termes ; et puisque ce facteur n'entre pas dans le second polynôme, on peut le supprimer comme ne faisant pas partie du second diviseur.

Par la même raison, le facteur aè^ étant commun à tous les termes du second polynôme et n'entrant pas dans le premier, peut être supprimé. Ainsi la question est ramenée à rechercher le plus grand commun diviseur entre les polynômes

et 6a' -,- \^a^h -i- ^ab' — So\

Première opération :

Soû'-t- 20rtV;-(- ^n-b^'-i- iiab^— 6è« ) 6rt' -i- lo^'Z- -f- 8«i- — 5^»'

— y5a^b— 32a^b--i- 3ynb^ — 6b* ) 5a, iSb

— i5oa'b~ G/ia^P-h -jiab'—iT.b'

-t- /iiia''b^-h ly^nb' — i3yb* ou bien, i3yb'[3(r-i~2ab — b'').

Seconde opération :

6(7^ -i- igr/'/Ç» -+- Srib- — 5b'^ I 3a- -h lab

i5a^b-hinab^ — 5b^ \ 2a -h 5b

Donc 3a^-h inb — b^ est le plus grand commun diviseur.

En suivant la même méthode que dans l'exemple précédent, il faudrait multiplier tout le dividende par le coefficient 6 du premier terme du diviseur, ou plutôt par le carré de 6; mais comme i5 et 6 ont un facteur commun 3, il suffit évidemment de multiplier tout le dividende par 2, facteur de 6, qui n'entre pas dans i5.

Cette préparation faite, on effectue la division, ce qui donne d'abord

un reste dont le premier terme est — -jba^b. Comme 75 contient encore le facteur 3 qui entre dans 6, il suffit de multiplier ce reste par 2 pour continuer la division qui, étant effectuée, donne ^toar premier reste principal, 41 1 a^b^ -h 2y^ab^ — iSyb*.

Or il est facile de reconnaître que, dans ce reste, il existe un facteur commun 187^'; mais puisque ce facteur n'entre pas dans le second polynôme, on peut le supprimer, comme ne faisant pas partie du second diviseur; et la question est ramenée à rechercher le plus grand commun diviseur entre les polynômes

6a' -;- \ga^b -i- 8 au- — 5b^ et 3a* -h 20b —b-.

Effectuant la division de ces deux polynômes, on trouve pour quotient exact, la -h 5b; ainsi le reste 3a^-i-2ab — b^ est le plus grand commun diviseur cherché.

38. Remarque. — On pourrait demander si les suppressions qu'on opère dans le cours du calcul, de facteurs communs à tous les termes de l'un des restes, n'ont pour objet que de simplifier les calculs, ou bien si ce sont des opérations indispensables. Or on peut aisément reconnaître que ces suppressions sont nécessaires; car si, dans l'exemple précédent, on ne supprimait pas le facteur iByé', il faudrait, pour rendre possible la division du premier ternie du nouveau dividende par le premier terme du diviseur, multiplier tout le dividende par iSy^^; mais alors on introduirait dans le dividende un facteur qui se trouverait aussi dans le diviseur : d'oii il résulterait que le plus grand commun diviseur cherché se compliquerait du facteur i3yb^ qui ne devait pas d'abord en faire partie.

L'exemple suivant est propre à confirmer ce qui vient d'être dit.

39. Soit à trouver le plus grand commun diviseur entre les deux polynômes

ab -i- la- — 3 b'' — ^bc — ac — c' et

ç)ac -h la- — 5ab -r- 4 c^ -i- Sbc — 12^'.

Première opération :

-ibc\

— loc — lîbc

OU bien.

(3i — 5c) [ia -+-

Seconde opération :

n ~- \nb- l

la ~- ib -^ a

-r-gc

-Sb

a ~ iib^

-r-Sc

-+- %bc

Donc 2(7 -f- 3^j -f- i^ est le plus grand commun diviseur. Après avoir ordonné les deux polynômes, on peut, sans aucune préparation, effectuer leur division, ce qui donne pour premier reste

gè I ff H- gZ»'

— 10 c } — iibc

Pour continuer l'opération, il faudrait, en prenant le second polynôme pour dividende et ce reste pour diviseur, multiplier le nouveau dividende par Çib — loc, ou simplement par 36 — 5r, parce que le facteur 2 entre déjà dans le premier terme du dividende ; mais avant d'effectuer cette multiplication, voyons si ce facteur 3b — 5c ne diviserait pas le second terme du reste, savoir Qb^ — iQ.bc — 5c\ Or cette division réussit et donne pour quotient exact 3è -t- c; d'où il suit que le reste peut se mettre sous la forme

Comme le facteur 3b — 5c se trouve dans ce reste, et n'entre pas dans le nouveau dividende [puisque ce facteur étant indépendant de la lettre </, devrait (30) exister entre les coefficients des diverses puissances de cette lettre, ce qui n'est pas], on peut, sans aucun inconvénient, le supprimer.

Celte suppression est d'ailleurs indispensable, parce qu'autrement on devrait introduire ce facteur dans le dividende; et alors les deux polynômes contenant un facteur commun qu'ils n'avaient pas auparavant, le plus grand commun diviseur serait changé; il se compliquerait du facteur 3b — 5c qui ne devait pas en faire partie.

La suppression faite, on effectue la nouvelle division, ce qui donne un quotient exact; donc 2.a -h 3b -h c eslle plus grand commun diviseur.

40. Mous proposerons, pour dernier exemple, de trouver le plus grand commun diviseur entre le polynôme a' -\-Za^b -r- ^a'b^ — Qab^ -h ib^ et le polynôme /{n'^b -f- lab- — ib^, ou simplement, ia^ -i- ab — b-, puisque le facteur ib peut être supprimé dans le second.

Première opération :

8a' -^ -iitP b -T- 30. a' b"" — /i8 nb^ -^ iQb* j ■i.a' -^ ab — b-

20a'b-r-36a'b'—48ab'-\-i6b' \ 4fl=-}- lo ab -r i3b

-^i&a'b'- Z8ab'-i-i6b*

— 5\ab^ H- 2Ç)b* ou bien, — b^ {5i a — i^b].

Seconde opération :

Multiplication par 2601, carré de 5i,

5ioi n^ -+- 160 1 ab — 2G0 1 i^ ) 5 1 « -t- iç)b — 57.02 a^ -h 0.^58 ab ) i02« -i- 1096

-f- 555g rté — 2601 b^ — 5559«^ -i-3i6i b'

2^ reste -- 56o6^

L'exposant de la lettre a dans le dividende surpassant de deux unités celui de la même lettre dans le diviseur, on multiplie tout le dividende par le cube de 2, c'est-à-dire par 8. Cette préparation faite, on effectue trois divisions consécutives, et l'on obtient pour premier reste principal — 5i ab^ — 29 i*. Supprimant le facteur b^ dans ce reste, on a pour nouveau diviseur — 5ia -i- 296, ou changeant les signes, ce qui est permis, 01 a — 296 ; le nouveau dividende est d'ailleurs ■xa^ -t- ab — b-.

Multipliant ce dividende par le carré de 5i, ou par 2601, puis effectuant la division, on obtient pour deuxième reste principal -h SQob''; ce qui démontre que les deux polynômes proposés sont premiers entre eux, c'est-à-dire n'ont aucun facteur commun. En effet, il résulte du second principe (3S), que le plus grand commun diviseur doit se trouver comme facteur dans le reste de chaque opération ; ainsi il devrait diviser le reste 56oè' : mais ce reste est indépendant de la lettre principale; donc, si les deux polynômes pouvaient avoir un commun diviseur, il devrait être indépendant de <7, et par conséquent (30) se trouver comme facteur dans les coefficients des diverses puissances de cette lettre, que renferme chacun des deux polynômes proposés, ce qui n'a évidemment pas lieu.

Ces exemples suffisent pour mettre les commençants au fait de la marche

qu'il faut suivre pour trouver le plus grand commun diviseur de deux polynômes.

41. Règle générale. — On commence par supprimer dans les deux polynômes les facteurs monômes communs à tous les termes de chacun d'eux. (Il peut arriver que le facteur monôme qui se trouve dans le dividende, et celui que renferme le diviseur, aient eux-mêmes un diviseur commun; dans ce cas, on le met à part, comme devant faire partie du commun diviseur cherché. ) Cette suppression faite, on prépare le dividende de manière à rendre possible la division de son premier terme par celui du diviseur (voyez 3a et 30); puis on effectue la division, ce qui donne un certain reste de degré moindre que le diviseur, et dans lequel on supprime les facteurs monômes ou polynômes que peuvent renfermer les coefficients des diverses puissances de la lettre principale. On prend ensuite ce reste pour diviseur, le second polynôme pour dividende, et l'on opère sur les deux polynômes comme sur les précédents. On continue cette série d'opérations jusqu'à ce quon obtienne un reste qui divise exactement le reste précédent, auquel cas le dernier diviseur est le plus grand commun diviseur; ou h\Qn jusqu'à ce quon obtienne un reste indépendant de la lettre principale; ce qui indique (40) que les deux polynômes proposés sont premiers entre eux, à moins qu'ils n'aient un facteur commun indépendant de la lettre, lequel facteur n'aurait pas été découvert dès le commencement de l'opérauon.

N. B. Il existe des cas où ce procédé n'est pas suffisant ; mais nous y reviendrons par la suite.

Voici de nouveaux exemples auxquels on peut appliquer le procédé tel que nous venons de l'indiquer :

et 2 w/j' q^ — 4 "'Z'* — "'P' <7 -t- 3 mpq^ .

Le p. g. c. d. est p — q.