Deuxième exemple. — Diviser
aiJc'^'-T- 25.r^j'-f-68ay*— 40 r^— 56 j:'— i^x*y par 5j'— 8^'— Gjt^.
Voici le tableau des calculs, en ordonnant par rapport à j :
4oj>"'-r- Qt^xy^ -\- 25a:'j'-f- iix^y^ — \^x''y— bÇ>x^ ) Sy^ — &xy — 8.r*
407^ — 48 xy* — 64 x=j' i - 8j' -1- ^xy'~Zxy-hya^
1 " reste 20 ^/^ — 'i^x^y^ -+- 2 1 ^'j-^ — 1 8 x^y — 56 j:' — 20 xy* ■+- i^x^y^ -h 3-2^ r'
2* reste — i5a'j-^ -+- 53x^y^~ \8x*y — 56 jt'
3* reste -i-SSor'j'' — 42.^*jr — 56.r'
reste final o
Comme il importe aux commençants de se familiariser avec les opérations algébriques, et surtout de calculer promptement, nous allons traiter de nouveau le dernier exemple, en indiquant les simplifications qu'il est à propos d'introduire.
Elles consistent, comme en Arithmétique, à soustraire du dividende chaque produit partiel, immédiatement après avoir formé ce produit.
— ^oy'^68xy*-i-'2.5x^j-' -^iix^j'^— iSx^y — 56xM 5r' — Qxy~Sx^
I " reste -r- 20 xy — 39 x^y^ -}- 3 1 x^y* — 1 8 xy — 56x^\— 8^ -+- 4 xy' — 3 x^'y -i-yx^ 2* reste -- i5ar'j^ H- 53 .r'j'— iBx-'j— 56 jc^
3* reste h- 35x^y^ — ^ix'y — 5&x^
reste final o
Si Ton divise d'abord — 4oj' par 5j% il vient pour quotient — 8j*. Multipliant 5j-' par — Sy^, on a — 4oj'S qui, changé de signe, donne -.- ioy'; et ce terme détruit le premier terme du dividende.
Demôme, — 6a:jx — Sj'donne-t-, et pour la soustraction, — 48j:'^)\qui,
réduilavec-+-G8.n<,doniiepourreste-i-2o.r/.Enfin, — 8a:'x— 8;-Monne -:-, et pour la soustraction, — 64a;'j', qui, réduit avec -+- iSx^-^ donne — 3gx-y. Le résultat de la première opération est donc -+- 10 xj-* — Sg-r^j* suivi des autres termes du dividende qui n'ont pas été réduits avec les produits partiels déjà obtenus.
On opère sur le nouveau dividende comme on a opéré sur le dividende primitif, et ainsi de suite.
28 ClIAPITRF. PREMIER.
Troisième exemple. — Soit à diviser
95/7 - 73r?--t-5Gr/'— -iS — 59rt' par --3rt' -5 — \\n -\-'jn^.
50/-/' — Sgr/' — 78/7' -f- gSrt — îS ) ja^ — 3«' — 1 1<7 -h 5 1" reste —35^' -h i5r/^-H 55^ — aâ \ 8« — 5
2' reste o
29. Il peut arriver que l'un des polynômes proposés, ou tous les deux, renferment plusieurs termes aiïectés d'une môme puissance de la lettre par rapport à laquelle on veut ordonner.
Comment doit-on, dans ce cas, disposer les polynômes et effectuer la division?
Soit à diviser \\frb — i<)abc-T-\oa' — i5n'c -i-Zab'' -^ i5bc- — 56'c par 5(7- -1- Znb — 5bc.
On remarque que les deux termes 1 1 «-^ — 1 5 c/-r peuvent être mis sous la forme
(iib — i5c)a^, ou -
en écrivant une seule fois la puissance rz*, et plaçant à gauche, dans une même colonne verticale, l'ensemble des quantités qui multiplient cette puissance; ce polynôme multiplicateur s'appelle alors, par extension (2), le coefficient de «\
[Cette seconde manière de réunir les termes affectés d'une même puissance est préférable à la première, sous deux rapports : 1° parce que, s'il y a beaucoup de termes dans le dividende et le diviseur, on a de la peine à les faire tous tenir sur une môme ligne horizontale ; 1° parce que, comme le coefficient de chaque puissance doit être lui-même ordonné par rapport à une seconde lettre, on est obligé, si le premier terme est soustractif, de faire éprouver aux termes une modification qui peut induire en erreur lorsqu'on emploie la première manière. Soit, par exemple, l'expression — iSb^n^ -h 'jbca? — 8c^(^z'; la modification consiste à mettre cette expression sous la forme
— (i5Z>^-76r-+-8f')rt^ (15);
au lieu que par la seconde, on l'écrit ainsi :
-■- 'jbc — 8c^
et, de cette manière, on a l'avantage de conserver à chaque terme le signe dont il était d'abord affecté.] ^
DIVISION DES POLYNOMES. 29
Pareillement,
/ 0/2 " • H- 3iM ^.
'-\qabc~^ab s écrira ,
•' -- \<^bc\
Cela posé, voici comment on effectuera l'opération :
io«'- II h — i5c
n — Sb'^c -h iSbà ) 5a^ -+■ Zbn — bbc \ -la '\-b — 3 f
I" reste -- 5é 1 «='-h Ih" — i5c I — ^bc
a — iib- c -T- ibbc-
%" reste o
Divisant d'abord locz' par 5«', on a 2« pour quotient.
Multipliant le diviseur par in et retranchant le produit, on obtient un premier reste. Divisant la partie affectée de a^ dans ce reste, par 5^', on a pour quotient Z» — 3 c. Multipliant successivement chaque partie du diviseur par 6 — 3c, et retranchant chaque produit, on trouve pour résultat o. Donc ia-it-b — 3c est le quotient demandé.
Pour nous rendre compte d'une manière générale du cas précédent, qui est le plus compliqué de la division, désignons le dividende par «*H-B«^-f-C«' — D« — E, et le diviseur par A'«^ -+- B'« -,- C
[C'est un usage en Algèbre, lorsqu'il doit entrer dans une question un grand nombre de quantités, d'en désigner d'abord un certain nombre par des lettres différentes ; et, pour ne pas trop multiplier le nombre de lettres, de désigner les autres par les mêmes lettres accentuées. Les accents ', ", '", se prononcent /Jm«c, seconde, tierce. '\
Dans ces deux polynômes, chacun des coefficients A, B, C, D, E, A', B', C, désigne l'assemblage de plusieurs lettres. Ainsi ko' représente toute la partie du dividende affectée de a\ et ainsi des autres. Cela posé, puisque le plus haut exposant de a est 4 dans le dividende et 2 dans le diviseur, il doit aussi être égal à 2 dans le quotient, qui est alors de la forme A'Vr -T- V>"a -i- C". Pour déterminer la partie de ce quotient affectée de la plus haute puissance, on remarque que le produit des deux parties k'a^ et A'V/^ ne peut éprouver aucune réduction avec les autres parties du produit total, et par conséquent doit être égal à la partie A«' du dividende, affectée de la plus haute puissance. Donc, réciproquement, si l'on divise Art* par A'rt^, on doit avoir la partie k!'ci^ du quotient; cela revient à diviser A par A', puisque a^ divisé par fâ donne n^. Si A et A' sont euxmêmes des polynômes composés d'une ou de plusieurs lettres, on agit sur eux ainsi qu'il a été dit précédemment, ce qui exige qu'on ordonne d'abord les deux polynômes par rapport à l'une des lettres qui y entrent. Voilà pourquoi nous avons dit plus haut qu'en écrivant les termes affectés d'une même puissance dans une colonne, il faut avoir soin de les ordonner par
3o CnAPITHB PREMIER.
rapport à une seconde lettre; on les ordonnerait même par rapport à une troi.-ième lettre, si plusieurs termes d'une colonne renfermaient un môme exposant de la seconde lettre.
La partie A'V/' étant obtenue, on multiplie chacune des parties du diviseur par k"fP, et l'on retranche au fur et à mesure les produits partiels qu'on obtient, ce qui donne un premier reste sur lequel on opère comme sur le dividende proposé.
Voici deux nouveaux exemples du cas qui nous occupe. (On a eu soin d'y joindre les divisions partielles que nécessite l'opération principale.)
l" IIP
a'-iob'
-^-ib^
— i^bc
--3\b'c — <^br
i ib
-:- ilb'
fl^ ~ 1 0 b'
— l-bb-r
— gi&c-
Première division partielle :
raA' — 29&C H-i5c' j
3b — le
— ç^bc -r-lSc'^ \
Seconde division partielle :
i5b' — i5b-c — 9bc^ ^ i5(^ I 3b
1° Gb\a*— -jb' — 10 I -',-23b
-i-i-ib'
-3ib
a-hb'—'ib\ 3b^n' b'—Q.b
-T-ayZ»
— ao
DIVISION DES POLY^ÔMES. 3l
Première division partitl'e :
6^ — io|3/^ — 5
Deuxième division partielle :
— Q//-h 7.yb — 20 1 3 h — 5
-t- iib — Q.O j — db -i- 4
Troisième division partielle
— 3/;-+- 5 î ib — I
Quatrième division partielle ;
30. Il existe un autre cas assez important dans la division algébrique : c'est celui où le polynôme clividcnde contient une ou plusieurs lettres que ne rcnjcrnie pas le (lii'iseur. On pourrait ordonner les deux polynômes par rapport à l'une des lettres communes, et faire la division comme à l'ordinaire. Mais il y a un moyen beaucoup plus simple d'obtenir le quotient.
Supposons, par exemple, que le dividende contienne diverses puissances de la lettre <?, et que cette lettre n'entre pas dans le diviseur (on dit alors que celui-ci est indépendant de « ). En ordonnant le dividende par rapport à n, on peut le mettre sous la forme ka' h- Brt^ h- C «^ -h Jia -;- E, 4 étant supposé le plus haut exposant de a dans ce polynôme ; A, B, C, D, E sont des monômes ou polynômes qui ne renferment pas a. Soit d'ailleurs M le polynôme diviseur, ^dépendant de a.
Cela posé, puisque le diviseur multiplié par le quotient doit reproduiro le dividende, et que le diviseur M ne contient pas «, il est clair que le quotient doit être un polynôme affecté des mêmes puissances de la lettre o, que celles qui se trouvent dans le dividende. Ainsi ce quotient est nécessairement de la forme
k'à' -\- BV^' ^ C'«' -h D'« + E'.
Or, si l'on conçoit que ce quotient soit trouvé, et qu'on ait multiplié successivement le diviseur tout entier par chacune des parties kla\ B'a',
C'a',. . ., les produits seront k'Un*, B'Mr/', CM^',. . . ; et, comme ils ne peuvent éprouver entre eux aucune réduction, puisque la lettre ordonnatrice y est affectée d'un exposant différent, ils doivent ôlre respectivement égaux aux termes A.a\ Jia\ C(i\. . . du dividende.
Ainsi l'on a
A'M = A, d'où A'=:A:M,
B'M=B, d'où B'==B:M,
C'M==C, d'où C'=C:M,
et ainsi de suite; d'où l'on déduit cette proposition générale :
Pour qiCun polynôme ordonné par rapport à une certaine lettre soit exactement divisible par un polynôme indépendant de cette lettre, il faut que chacun des coefficients des diverses puissances du premier polynôme soit exactement divisible par le second. Les coefficients des diverses puissances de la lettre dans le cjuotient ne sont autre chose que les quotients successifs de la division des coefficients du polynôme dividende par le polynôme diviseur.
Soit à diviser le polynôme
•ia'b' — Zobc^ — 2b'c^ -h b' - 3a'bc' -i^ab^c - a'c' -{- bc* + a'b^'c
par b^ — c^ Le dividende ordonné par rapport à a peut être mis sous la forme
(3^-^ + b'c — 3bc'—c')a' n^ [3b'c —3be')a-\- b' ~ib'c'^ bc'\ effectuant les trois divisions partielles marquées par
3^,3 ^^,^c 3Z>c'— c' Z¥c- 3bc' b' — ib'c' -^ bc* ¥^^' ' b'—c' ' b'~c' '
on trouve pour quotients 3^ ^ c, 3bc, b^ — bc^; ainsi l'on a pour le quotient total
[3b-^ c)a^-h 'ibcar^-b'— bc\
Les deux derniers quotients "ibc et b^— bc^ peuvent s'obtenir plus aisément que par le procédé ordinaire, si l'on observe : i° que 3^'c — 3bc^ équivaut (21) à 3bc{b''— c'); 2° que b^ — -xPc^-i- bc* équivaut à
b{b'-'ib'e^-i-c'), ou b[b'—c^Y (19).
Nous observerons, à ce sujet, que, s'il existe des règles générales pour effectuer toutes les opérations, ces règles peuvent souvent être simplifiées ; et il ne faut jamais négliger d'employer ces simplifications lorsque l'occasion s'en présente. On ne s'en conforme que mieux à l'esprit du langage algébrique.
DIVISION DES POLYNÔMES. 33
3!. Parmi les différents exemples de division algébrique, il en est un remarquable par ses applications, et tellement fréquent dans la résolution des questions, que les algébristes en ont fait une espèce de théorème. On a vu (S et 19) que [a -^ b) [a — h) donne pour produit a^ ~ b^; donc, réciproquement, a*— b^ divisé par a — b donne a-Jr-b pour quotient.
En divisant également a^ — b^ par a — ^, on trouve un quotient exact et égal k ar-{- ab -T- b^.
De même, a'^— b^ divisé par a — b^ donne pour quotient
c^ -\- d^b -^ nb' -\- b^.
Ce sont des résultats qu'on peut obtenir en suivant le procédé ordinaire de la division ; et l'analogie porte à conclure que, si grand que soit l'exposant qui affecte les deux lettres a et 6, la division se fait encore exactement; mais l'analogie n'équivaut pas à une certitude rigoureuse. Pour acquérir cette certitude, désignons par m l'exposant, essayons la division de «'" — b"^ par a— b.
aJ"— b"')a—h i" reste -r-a'^-'b— b'" \ «'"-' '
Divisant d'abord d" par <?, on a pour quotient «"-', d'après la règle des exposants ( 22 ). Le produit ^q a — b par <-/""' étant soustrait du dividende, on a pour premier reste (f^^ b — b"\ expression qu'on peut mettre sous la forme é («'""'— è""'). D'où l'on voit que, si l'on suppose a""'— è"-' divisible exactement par a — b, il en est de même de a'" — b'"\ ce qui veut dire que, si la différence des puissances semblables d'un certain degré de deux quantités est divisible exactement par la difi'érence de ces mêmes quantités, la différence des puissances d'un degré plus grand d'une
d — b^ unité est aussi divisible. Or j- donne un quotient exact et égal à
d — b"" a -i- b ; donc j- donne un quotient exact et égal à
ou
d-h b[a -h b), ou bien encore a'-I- ab -i- b-,
d ~ b'' Pareillement j- donne un quotient exact et égal à
d-\-b— r-^5 ou d-h bia^-hab -+- b^], Ou d -{- db -i- ab^-h b^:
Al^. B. 3
34 CnAPlTHE PREMIER.
et en général, j- donne un quotient exact et égal à
iV. B. Ce quotient suit ««e loi facile à retenir :
1° L'exposant de la lettre a est égal à m — i dans le premier terme, et diminue ensuite d'une unité d'un terme à l'autre jusqu'au dernier, où il est nul;
2° L'exposant de b est /ml dans le premier terme, et augmente d'une unité d'un terme à l'autre jusqu'au dernier, où il est égal a m — i ;
3° Le degré de chaque terme est égal k m~\ \
4° Le nombre total des termes de ce quotient est égal à m.
On peut vérifier à posteriori l'exactitude de la proposition, en effectuant la multiplication indiquée ainsi :
(«"■-'— a"'-'b--- cf"H^-^. . . -r- ab"'-^'r- b"'-' ){a — b).
On reconnaît que les produits partiels d" et — b"" sont les seuls qui ne se détruisent pas dans la réduction. Par exemple, en multipliant (f'^b par n, on trouve pour produit «"'"' b ; mais si l'on multiplie a""' par — Z», il vient pour produit — «'""' b, terme qui détruit le précédent. I! en est de même des autres termes.
Nous engageons les commençants à réfléchir sur le moyen de démonstration précédent, qui est assez souvent employé en Algèbre.
32. Nous avons établi (23 et 26) les caractères principaux auxquels on reconnaît qu'une division de quantités monômes ou polynômes n'est pas exacte ; ce qui veut dire qu'il n'existe pas de troisième quantité algébrique entière qui, multipliée par la seconde, reproduise la première.
Nous ajouterons, quant aux polynômes, que souvent on reconnaît à leur inspection seule, qu'ils ne peuvent être divisibles l'un par l'autre. Lorsque ces polynômes renferment deux ou plusieurs lettres, il faut, avant d'ordonner par rapport à l'une d'elles en particulier, jeter un coup d'oeil sur les deux termes du dividende et du diviseur, atïectés respectivement du plus haut exposant de chacune des lettres. Si, pour une de ces lettres, les termes du plus haut exposant ne sont pas divisibles l'un par l'antre, on peut conclure que la division totale est impossible. Cette remarque doit se répéter dans chacune des opérations que comporte le procédé.
Soit, par exemple, laa'— 5^'^ -i- 7«^'— ii i^ à diviser par
^a^~- ab-i- lb\ Si l'on a égard à la lettre a, la division paraît possible ; mais eu égard à
la lettre b^ la division est impossible, puisque — ii ^' n'est pas divisible par 3 b-.
Nous terminerons par les considérations suivantes :
1° Un polynôme ne peut jamais être divisible par un autre polynôme renfermant une lettre qui ne se trouve pas dans le dividende ; car il est impossible qu'une troisième quantité entière, multipliée par une seconde dépendant d'une lettre, donne un produit indépendant de cette lettre.
1° Un monôme n'est jamais divisible par un polynôme, parce que (18) tout polynôme multiplié par un autre donne au produit au moins deux termes qui ne se réduisent pas.
3° Un polynôme ne peut être divisible par un monôme qu'autant que celui-ci divise exactement chacun des termes du dividende; et le quotient s'obtient en mettant en évidence le facteur commun à tous les termes.
§ II. — Des fractions algébriques ou littérales.
Du plus grand commun diviseur.
33. Les fractions algébriques doivent offrir à l'esprit la même acception
que les fractions arithmétiques, telles que -n — ? • • • ; c'est-à-dire qu'il
faut concevoir qu'on ait divisé l'unité en autant de parties égales qu'il y a d'unités dans le dénominateur (le dénominateur pouvant d'ailleurs être un monôme ou un polynôme), et qu'on prenne une de ces parties autant de fois qu'il y a d'unités dans le numérateur. Dès lors, l'addition, la soustraction, la multiplication et la division doivent s'effectuer suivant les règles établies en Arithmétique pour le calcul des fractions. Toutefois, on doit se conformer, dans les applications de ces règles, aux procédés indiqués précédemment pour le calcul des quantités algébriques entières, monômes ou polynômes. Ainsi il serait superflu du s'y arrêter ; nous aurons, par la suite, assez d'occasions de nous familiariser avec ces règles.
La réduction des fractions algébriques à leur plus simple expression mérite néanmoins quelques développements particuliers.
Lorsqu'une division de quantités monômes ne peut s'effectuer exactement, on l'indique à l'aide du signe connu ; et, dans ce cas, le quotient se présente sous la forme d'une fraction que nous avons déjà appris à simplifier (23). Quant aux expressions fractionnaires polynômes, voici quelques cas dans lesquels il est aisé de les réduire :
Soit, pour premier exemple, I expression -7— — 7 — 75*
On remarque que cette fraction peut (19) être mise sous la forme
36 CnAPITRE PREMIER.
(J7-+- — )["— — ) . supprimant le facteur a — b commun aux deux termes,
, . a -h b on obtient pour résultat — 3-7 •
„ . ,, . 5à^ — loa'^b -h 5ab' Soit encore 1 expression 3 ,, •
Cette expression se décompose ainsi :
Salà^—iab -h b^) ,. 5a{n — b)-
Sa^{a-b) ' °"^''" 8.^.-^)'
supprimant le facteur commun a{a — b), on trouve pour résultat
5{a-b) Ha
Les cas particuliers que nous venons d'examiner sont ceux où les deux termes de la fraction sont décomposables dans le produit de la somme par la différence de deux quantités, dans le carré de la somme ou de la différence de deux quantités; et riiabitude du calcul apprend à opérer ces décompositions lorsqu'elles sont possibles.
Mais les deux termes de la fraction peuvent être des polynômes plus compliqués; et alors, leur décomposition en facteurs n'étant plus aussi facile, on doit avoir recours au procédé du plus gr-and commun diviseur.
Cette théorie, intimement liée à celle des équations, ne laisse pas que de présenter quelques difficultés. Aussi notre intention est-elle de n'en donner ici qu'une partie, sauf à y revenir plus loin, et lorsque nous aurons acquis les matériaux nécessaires pour l'établir d'une manière complète (*).
Théorie élémentaire du plus grand commun diviseur algébrique.
34. Le plus grand commun diviseur de deux polynômes est le polynôme le plus grand par rapport aux exposants et aux coefficients, qui divise exactement les deux polynômes proposés.
La propriété caractéristique du plus grand commun diviseur est que. si l'on divise les deux polynômes proposés par leur plus grand commun diviseur, les quotients qui en résultent sont premiers entre eux, c'est-àdire ne renferment plus aucun facteur commun.
Cette proposition est évidente d'après la définition.
(*) Les commençants peuvent même, à la rigueur, se dispenser pour le moment de voir cette théorie qui nous sera fort peu ntile avant le Chapitre VII.
