NOTIONS PRELIMINAIRES SUR LES EQUATIONS

42. On ne considère ordinairement en Algèbre que les problèmes dont les énoncés, traduits algébriquement, donnent lieu à des crjuatums. En réfléchissant sur la résolution du problème du n° 3, on peut voir que cette résolution se compose de deux parties distinctes. Dans la première, on écrit algébriquement les relations que l'énoncé de la question établit entre les quantités connues et les quantités inconnues. On parvient ainsi à l'expression de deux quantités égales, qne l'on appelle équation. Telle est (3) l'expression ix -\- b = a. Dans la seconde partie, on déduit de l'équation du problème une suite d'autres équations, dont la dernière donne enfin la valeur de l'inconnue au moyen des quantités connues : tel est le

résultat X = auquel on est parvenu. Cette seconde partie est ce

qu'on appelle la résolution de l'équation.

Comme les règles à suivre pour mettre un problème en équation sont un peu vagues, nous commencerons par nous occuper de la seconde partie, qui est soumise à des règles fixes et invariables.

D'après la définition d'une équation^ toute équation se compose de deux quantités séparées l'une de l'autre par le signe = . La partie à gauche se nomme le premier membre, et la partie à droite le second membre.

On considère plusieurs espèces d'égalités :

1° L'égalité qui existe entre des nombres connus et donnés à priori, mais représentés par des lettres : telles sont les égalités

a-b = c-cl, ^ = -,

qui se vérifieraient immédiatement si l'on mettait à la place de a, b, c, d les nombres particuliers pour lesquels on suppose que ces égalités existent. Elles conservent le nom d'égalités.

1° L'égalité évidente d'elle-même, celle qui se vérifie dans son état actuel : telles sont les égalités

25 = 12 -f- 13, 3« — 5b = a — b -\- la ~ ^b.

On les appelle identités ou égalités vérifiées.

46 CnilPlTRE II.

3° Enfin, l'égalité qui ne peut se vérifier avant qu'on y ait substitué à la place d'une ou de quelques-unes des lettres désignant des inconnues, certains nombres dont les valeurs dépendent des nombres connus et donnés qui entrent déjà dans l'égalité.

Pour la distinguer des autres égalités, on la nomme équation, et c'est celle dont nous avons à nous occuper.

Il est encore une autre espèce d'égalité dont nous parlerons plus loin; c'est Yéquation identique.

On partage les équations à une seule inconnue en différenles classes : celles où l'inconnue n'entre qu'à la première puissance sont dites du premier degré. Telles sont les équations

3jr-^5 = i7 — Sx, ax -.- b =^ ex ^ d.

L'équation ix^— 3x ^ 5 — -ix^ est dite du deuxième degré.

L'équation 4-^ — 9-^' — x ^ ix^ -i- 1 1 est dite du troisième degré. En général, le degré d'une équation est le plus grand des exposants dont l'inconnue est affectée dans l'équation.

On distingue aussi les équations en équations numériques et en équations littérales. Les premières sont celles qui ne renferment que des nombres particuliers, à l'exception de l'inconnue, qui est toujours désignée par une lettre. Ainsi

sont des équations numériques. Elles sont la traduction algébrique de problèmes dont les données sont des nombres particuliers. Les équations

ax -^ b ^^ ex -r- d, ax"^ -T- bx = c

sont des équations littérales. Les données du problème sont représentées par des lettres. Il est d'usage, pour distinguer dans une équation les quantités connues des inconnues, de désigner celles-ci par les dernières lettres de l'alphabet x^ y, z, etc.

Ces notions établies, voyons comment, une équation du premier degré à une seule inconnue étant donnée, on peut parvenir à la résoudre, c'est-à-dire à trouver pour l'inconnue un nombre qui, substitué à la place de cette inconnue dans t équation, y satisfasse, ou bien rende le premier membre identiquement égal au second. Le résultat auquel on parvient est dit la solution de l'équation ou du problème qui y a donné lieu.

§ I. — Équations du premier degré a u.ne seule inconnue.

43. On doit regarder comme un principe commun à toutes les équations, qu'on peut, sans troubler une équation, i° ajouter à ses deux mem-