CALCUL DES RADICAUX DU SECOND DEGRÉ. I I

La première consiste à faire passer sous le radical le coefficient de ce radical. Soit, par exemple, l'expression Za\J^b\ on observe qu'elle revient (90) à

grt-x \/5^, ou v/g rr . 5 6 = \fkficFb.

Ainsi, pour faire passer sous le signe d'un radical le coefficient de ce radical, il suffit d'élever le coefficient cul carré.

Voici l'usage principal de cette transformation : Que l'on ait à évaluer, à une unité près, l'expression 6 /Ts. Comme 1 3 n'est pas un carré parfait, on ne peut obtenir qu'une valeur approchée de sa racine. Celle-ci est égale à 3, plus une certaine quantité plus petite que i ; mais en multipliant cette racine par 6, on a i8, plus le produit par 6 de la quantité plus petite que I ; et le résultat total peut avoir une partie entière plus grande que i8. Afin de déterminer exactement cette partie e.itière, on met

6 v/T3 sous la forme v^^' . 1 3 = v^jô x i3 = s/468.

Or la racine carrée de 468 a 21 pour partie entière; donc 6vA3 est égal à i\, plus une partie de l'unité qui ne peut être déterminée exactement.

On trouvera de même que lav^? = 3i, à moins d'une unité près.

La seconde transformation a pour but de rendre rationnels les dénominateurs d'expressions telles que ^, n, a, /j étant des nom-

p-^y'q p-\fq

Lres entiers quelconques, ainsi que ^, qui est d'ailleurs supposé non carré parfait. On parvient souvent à ces sortes d'expressions dans la résolution des problèmes du second degré.

Or on atteint ce but en multipliant les deux termes de la fraction par p — >/q si\q dénominateur est p 4- \'q, et par p -i- \^j si le dénominateur est p — ]/ïj. En effet, la somme de deux cpiantités multipliée par leur différence donnant (6) pour produit la différence des carrés, on a, par la multiplication indiquée,

a a[p — v/y) a{p—\'~ri]__a;-> — n\l(j

a a^p-^\f7j) a\p ~\.^i) a]) -^r a\ffi

expressions dont le dénominateur est rationnel. Pour donner une idée de l'utilité de cette transformation, supposons que

I20 ciuriTUE m.

l'on ait à évaluer approximativement l'expression

3 — v/6 Elle revient à

-^^-^ r — 5 OU bien a

Or 7v/5 est la même chose que v/49 x 5, ou \/2^5, quantité dont la valeur est i5, à une unité près. Ainsi

7 2 T -H 1 5 H- une fraction 36 , i ,

= — = 9, a - près.

Si l'on voulait avoir une valeur plus exacte de cette expression, ii suffirait de calculer \fx^ avec un certain de^rc d' approximation , d'ajouter %\ a la racine obtenue, puis de diviser la somme par 4, ou d'en prendre le quart.

Prenons pour second exemple l'expression

s/TT -h v^s

et proposons-nous de l'évaluer à 0,01 près. On a

7V^ 7v/5 (v'ii --\/3) 7V^ — 7/^

Or et

donc

7 v/35 = \Jbb X 49 = v'-^Gga = 5i ,91 à 0,01 près, 7 y/75 = y/i5 x 49 — V^7'^5 = 27, "; 7v/5 51,91 — 27,11 24,80

V^ii ^ y/S

à — près, et même à - — près, à cause do la division par 8. loo '^ ' 800 ^ *

On trouverait, par un procédé analogue,

^ =3,16, a 0,01 près.

N. B. On pourrait bien calculer ces sortes d'expressions en évaluant approximativement chacun des radicaux qui entrent tant au numérateur