CALCUL DES RADICAUX DU SECOND DEGRÉ. II
car
3rt^x -i6ab'= - 4Sa'b\
4n--{-i2ob — 9^^ ne peut être un carré parfait, quoique ^a'' et g'^soient les carrés de 2 a et de 3b, et que iiab = 7.a x 6b; mais — 96' n'est pas un carré.
3° Lorsque, dans la série d'opérations que comporte le procédé général, le premier terme de l'un des restes n'est pas exactement divisible par le double du premier terme de la racine, en peut en conclure que le polynôme proposé n'est pas un carré parfait. C'est une conséquence évidente des raisonnements que nous avons faits pour parvenir à ce procédé.
4° Enfin, on peut, quand il y a lieu, appliquer aux racines carrées des polynômes /wn carrés parfaits les simplifications du (84).
Soit, par exemple, l'expression \/a^b -r- ^a^b^-h ^ab^.
La quantité sous le radical n'est pas un carré parfait ; mais elle peut se mettre sous la forme ab[a^-h ^ab -\- 4/1-). Or le facteur entre parenthèses est évidemment le carré de a -4- 2^; d'où l'on peut conclure (8i).
v/fl^--4rt'Z'-+4fl6'= =1= [a -+- ib) sj'âb (*)
90. Calcul des radicaux du second degré. — L'extraction de la racine carrée donnant naissance à de nouvelles expressions algébriques, telles que \/a, 3 y/b, 7 \/i, connues sous le nom de quantités irrationnelles ou de radicaux du second degj-é, il faut établir des règles pour effectuer sur ces expressions les quatre opérations fondamentales.
Définition. — Deux radicaux du second degré sont dits semblables lorsque la quantité qui est sous le radical est la même pour ies deux radicaux. Ainsi, 3« y/Z et 5c ^b, 9V/2 et 7V/2 sont dits des radicaux semblables.
Addition et soustraction. — Pour ajouter ou soustraire des radicarx semblables, on ajoute ou l'on soustrait les deux coefficients, puis on affecte la somme ou la différence du iculical commun. Ainsi l'on a
Zasjb ^- Sc\Jb = ["ia -i- 5c)\ll), 3a\/b — Sc\fb = (3<7 — Scjy/Â, de même
7t/2fi -;- Sy/ïa = iov/2lz, "^yfxa — Zsjia = ^\pia.
Deux radicaux peuvent, au premier abord, n'être pas semblables et le devenir par les simplifications du (84).
(*) Voir la Note I à la fin du volume.
1 l8 CDAPITIIE III.
Par exemple,
Si les radicaux ne sont pas semblables, on ne fait qu'indiquer l'addition ou la soustraction. Ainsi, pour ajouter 3 v'^ à 5 \Ja, on écrit simplement 5 \/â H- 3 \Jb.
Multiplication. — Pour multiplier deux radicaux entre eux, on multiplie Pu ne par r autre les deux quantités comprises sous le signe radical, et F on affecte le produit du signe radical commun.
Ainsi
\^i ;< \fJ> == \fa X b\
c'est le principe du (84), énoncé dans un ordre inverse.
S'il y a des coefGcients, on commence par les multiplier entre eux, et Von écrit leur produit en avant du radical.
Par exemple,
3 y/j ab x 4 ^^oa — 12 \^iooa-b = 120a [fb,
2« \/bc X 3a \ibc-.^ Grt^ y/6-c-= da'^bc,
ia \fa'^-¥- b^ X — 3a \fcF~l)'= — 6(7'(rt^H- Ir).
Division. — Pour diviser deux radicaux l'un par l'autre, divisez les deux quantités compr-ises sous le signe, l'une par Vautre, et affectez le quotient du signe radical commun.
Ainsi
Kra
il =.11.
^Tb \ b
En effet, les carrés de ces deux expressions sont égaux à la même quantité y-; donc ces deux expressions sont égales.
S'il y a des coefficients, on écrit leur quotient comme coefficient du radical. — Par exemple,
5ay/6:2iv^^ = ^y^^
1 2 oc \l^bc : ^cyj'xb— 3 a t/ — j- — 3a yJc.
91. Il existe deux transformations d'un usage fréquent dans 1 évaluation numérique des radicaux.
