THÉORIE DES COMBINAISONS

Considérant un quelconque de ces arrangements, écrivons à sa droite

chacune des lettres qui n'y entrent pas et dont le nombre est nécessairement m — [n — i) ou [m — « -t- 1); il est évident que l'on formera ainsi un nombre [m — n -h i) d'arrangements de n lettres, différant tous entre eux par la dernière lettre.

Considérons un nouvel arrangement de (/? — i) lettres, et écrivons à sa droite les (w — « -i- i) lettres qui n'en font pas partie; nous obtiendrons encore un nombre [m — n -h\) d'arrangements de n lettres, différant tous entre eux et différant des précédents, au moins par la disposition d'une des (^ — i) premières lettres. Comme d'ailleurs on peut considérer à part chacun des A„, arrangements (/? — i) à (« — i)> 6t écrire successivement à sa droite les (m — /? h- i) lettres qui n'y entrent pas, il s'ensuit que le nombre total des arrangements de m lettres /z à /? est exprimé par

Veut-on maintenant trouver, comme cas particuliers, les nombres d'arrangements de m lettres 2 à 2, 3 à 3, 4 à 4, • ■ • • Faisons

/? = 2, d'où m — r? -h i = m — i ;

A„, exprime, dans ce cas, le nombre total des arrangements (2 — 1) à (2 — i), ou I à I, et est, par conséquent, égal à /«; donc la formule devient

A2= A,(/;2 — 1) = m{nt — i).

Soit

« = 3, d'où m — n -h 1 ~ m — 2 ;

i! en résulte

A3 = A^ ( /// — "x) = ni[m — I ) ( //.' — 2 ).

Soit encore

« = 4, d'où m — n -^i — m — 3, on obtient

A^ = A3 ( /« — "i) — m[m — i)[in — 2 ) ( « — 3 ),

et ainsi de suite.

N. B. — D'après la manière dont les cas particuliers ont été déduits de la formule générale, on peut conclure que cette formule développée revient à

A„= m[^m — i) (.w — 2i) ('^ — 3). . .(w — « -+- 1); c'estrà-dire que A„ est égal au produit des n nombres consécutifs, décrois-

21 4 Cn/VI'ITRE V.

sont depuis m inclusivement jusqu'à m — [n — \) ou (/« — /? -i- i), nussi

inclusivement.

Il est d'ailleurs facile de déduire de cette formule développée celle du numéro précédent, c'est-à-dire la valeur de P„, aussi développée.

En effet, on a vu (144) que les arrangements deviennent des permutations lorsqu'on suppose le nombre des lettres qui entrent dans chaque arrangement égal au nombre total des lettres considérées.

Ainsi, pour passer du nombre total des arrangements de m lettres, n à «, au nombre de permutations de n lettres, il n'y a qu'à faire, dans le développement ci-dessus, m = n\ ce qui donne

Renversant l'ordre des facteurs, et observant que, le dernier facteur étant I , l'avant-dernier est 2, le précédent 3, . . . , on obtient, pour le développement de P„,

expression dont les facteurs ne sont autre chose que les nombres entiers consécutifs compris depuis i inclusivement j'itu/u'à n inclusivement.

147. Troisième problème. — Déterminer le nombre total C„ des combinaisons différentes que l'on peut former avec m lettres prises n h n.

Il est évident que, pour obtenir tous les arrangements possibles de m lettres n à «, il suffirait de faire subir aux n lettres de chacune des C, combinaisons toutes les permutations dont ces lettres sont susceptibles. Or une seule combinaison de n lettres donne, comme on l'a vu, P„ permutations ; donc C„ combinaisons de n lettres doivent donner C„ x P„ arrangements n à n. Et, comme on a d'ailleurs désigné par A„ le nombre total des arrangements, il s'ensuit que les trois quantités A„, P„, C„ sont liées entre elles par la relation

K ^ C„ X P„ ; d"où l'on déduit C„ = ^ •

Mais on a trouvé (146)

A„= A„,x (/«-« + i), et(I4D) P„--P„,x/?.

Donc enfin,

rx n P..

Comme A„, exprime le nombre total des arrangements ( /? — 1) à ( « — 1 ) , que P„, exprime le nombre total des permutations de [n —1) lettres, il

BINÔME DE NEWTON. 2l5

s'ensuit que '~^ exprime le nombre des combinaisons différentes de m

lettres {n — i ) à ( // — i ) .

D'après cela, soient demandés, comme cas particuliers, les nombres des combinaisons 2 à 2, 3 à 3, 4 à 4? • • • •

Faisons /^ = 2, auquel cas ïj^^-/ exprimant le nombre des combinaisons

(2 — i) à (2 — i), OU I à I, est égal à ///; la formule ci-dessus devient

C, = m X ■ ou

Faisons « = 3, auquel cas p^^ exprime le nombre des combinaisons

2 à 2, ou est égal à

la formule devient