THÉORIE DES COMBINAISONS

144. On sait déjà que le produit d'un nombre n de facteurs <?, /;, c, f/, . . . ne change pas, dans quelque ordre qu'on effectue leur multiplication. Or supposons que l'on veuille déterminer le nombre /o/rt/ des manières dont ces différentes lettres peuvent être disposées les unes à la suite des autres. Les résultats qui correspondent à chaque disposition que Ion fait subir à ces lettres se nomment permutations.

C'est ainsi que deux lettres, a et b, donnent un produit unique ab^ mais fournissent les deux permutations ab et ba.

De même, les trois lettres <?, /;, c donnent un produit unique abc, mais fournissent les six permutations abc, acb, cab, bac, bca, cba; et ainsi de suite.

Soit maintenant un nombre m de lettres a, b, c, d, e, . . .; si on les dispose les unes à la suite des autres, aàa, 3à3,4à4,---, dans tous les ordres possibles, de manière, toutefois, que, dans chaque résultat, le iTombre des lettres soit moindre que celui des lettres données, on peut demander l'expression du nombre total àes résultats que l'on obtient ainsi. Ces résultats sont ce que l'on appelle des arrangements.

Ainsi, ab, ac, ad, . . . , ba, bc, bd, . . . , ca, cb, cd, . . . , sont des arrangements 2 à a des /n lettres.

De même abc, abd, . . . , bac, bad, . . . , acb, acd, . . . sont des arrangements 3 à 3,. . . .

Enfin, lorsqu'on dispose ainsi les lettres a à 2, 3 à 3, 4 à 4, • • •, on peut exiger que deux quelconques des résultats que l'on forme ne soient

THÉORIE DES COMBINAISONS. 21 î

pas composés des mêmes lettres, c'est-à-dire qu'ils diffèrent entre eux au moins par l'une des lettres; et Ton peut demander alors le nombre total des résultats qu'on obtient ainsi. Dans ce cas, les résultats prennent le nom de combinaisons.

Ainsi, «è, ffr, bc, . . ., ad^ bd. . . . sont des combinaisons 232, toutes distinctes les unes des autres, puisque deux quelconques des résultats différent au moins par l'une des lettres.

De même, abc, nbd, . . . , acd, bcd, . . . sont des combinaisons 3 à 3 ... .

Il existe donc une différence essentielle dans la signification des mots perimttdtion^ arrangement et combinaison.

On nomme : 1° Permutations, les résultats qiCon obtient en disposant les unes h la suite des autres, et dans tous les ordres possibles^ un nombre déterminé de lettres, de manière que toutes les lettres entrent dans chaque résultat et que chacune d'elles ny entre qu^unc fois;

%° Arrangements, les résultats qu'on obtient en disposant les unes à la suite des autres, et dans tous les ordres possibles, 2à2,3à3, 4à4,---n à /?, un nombre m de lettres, m étant > n [chaque résultat ne de^'ant renfermer la même lettre qu'une seule fois).

On peut toutefois supposer n = m ; auquel cas les arrangements n à n deviennent de simples permutations.

3" Enfin, Combinaisons, les groupes cV arrangements dont deux rjuelconques diffèrent entre eux au moins par Vune des lettres qui y entrent.

n est important que les élèves se pénètrent bien de ces définitions, pour entendre la résolution des problèmes suivants.

'143. Premier problème. — Déterminer le nombre P„ des permutations dont n lettres sont susceptibles .

Dabord, deux lettres c et Z> donnent évidemment les deux permutations ab et ba. Ainsi, le nombre Pj des permutations de deux lettres est 0., ou 1x2.

Donc

Pj = I X 2.

Soient actuellement 3 lettres, <?, è, c Mettons à part une quelconque de ces lettres, c par exemple, et écrivons à la droite des deux arrangements ab et ba que donnent les deux autres la lettre c ; il en résulte les deux permutations de trois lettres, oie, bac. Or, comme on peut ainsi mettre à part chacune des trois lettres, il s'ensuit que le nombre P3 des permutations de trois lettres est égal «2x3, ou IX2X3 (*).

(*) La place que nous avons assi[;née à la lettre c par rapport aux arrange-

212 CnAPITRE V.

Ainsi,

En général, soit un nombre n de lettres, a, A, c, d, . . .^ et supposons déjà connu le nombre P„, des permutations de {n — i) lettres.

Considérons à part une des n lettres, et écrivons cette lettre à la droite de chacune des permutations que donnent les (/z — i) autres lettres; il en résulte P„, permutations de n lettres, terminées par la lettre qu'on avait d'abord isolée. Or, comme on peut ainsi mettre à part chacune des n lettres, il s'ensuit que le nombre total des permutations de n lettres est égal à P„, X n.

En termes abrégés.

Soit n = 2] P„, désigne alors le nombre des permutations qu'une seule lettre peut donner; donc P„, = Pi= i; et l'on a

Pj= P, X 2 = I X 2.

Soit « = 3 ; P„, exprime le nombre des permutations de ( 3 — i ) , ou de 2 lettres, et est égal à i x 2. Ainsi

P3= PjX 3 = IX 2X 3.

Soit encore « = 4 ; P„, désignant, dans ce cas, le nombre des permutations de 3 lettres, est égal à i x 2 x 3 ; d'où

P^=P3x4 = iX2>^ 3x4.

On voit donc que la formule P„ = P„, x n renferme tous les cas particuliers du problème proposé. Ainsi, rien n'empêcherait de traiter tout d'abord le cas général, sauf ensuite à fairesuccessivementrt= i,2,3,4,.---

146. DEDxrSME PROBLÈME. — Un nombre m de lettres «, b, c, d,. . . étant donné, déterminer le nombre A„ des arrangements n à n que l'on peut former avec ces m lettres, m étant supposé plus grand que n.

Pour résoudre sur-le-champ cette question générale, supposons déjà connu le nombre A„, des arrangements [n — i) à [n — i) que l'oa peut faire avec les m lettres.

ments ab, ba, est de pure convention. Nous aurions pu également convenir de faire occuper à la lettre c la première place à gauche, ou même de l'écrire entre les lettres a et A ou b et a; mais, cette place une fois assignée, elle doit rester invariable pour toutes les permutations à exécuter : sans quoi il eu résulterait des répétitions.