e Cas. Multiplication d’ positif

Soit à multiplier 4+4b—e par mm.

Nous savons que pour multiplier un tout par une quantité, on peut multiplier successivement chacune des parties de ce tout par cette quantité et ajouter les résultats.

D'après cela, il faut répéter « mn fois, b m fois, ce qui donne, d'après la règle précédente :

un polynôme Par un monome

— € im fois,

AN + bin cm,

Donc pour faire le produit d'un polynôme Par un monôme positif, il faut mulliplier chaque terme du polynôme par le inonôme el ajouter les résultats.

REMARQUE. Si on avait à multiplier un mono polynôme, on intervertirait l’ordre des dans le cas précédent.

me positif par un facteurs et on {omberait

22, 4e Cas. Multiplication d'un polynôme par Soit a—b à multiplier par e.w.

Multiplions d'abord le polynôme « — par le monôme c, On a. d'après la règle précédent: :

un polynôme.

ac — be :

or, Ce n’était pas par c qu'on devait multiplier a—b, mais par e diminué de 4; en répétant c fois le polynôme a—%, on l'a donc répété 4 fois de plus qu'il ne fallait; pour avoir la valeur

exacte du résultat il faut répéter le multiplicande « fois et retrancher ce produit de ac— be,

4—Ù répété d fois donne a— bi: retranchant ce produit de ac—be, on trouve :

AC—bc—ad-+ bu, Voici le tableau de l'opération :

EE — UC—be— ad + ul

| Fi pli | | , EE f Î

Sens nee RE

ue résultat conduit aux remarques suivantes : Ayan l° Le produit + ac provient de la multiplication de +4 par +c : ae 2 Le produit — be » ) de —4 par +c: eur, et 3° Le produit —ad » » de +4 par —(/:

# Le produit + b4 » ù de — 4 par — (4, et ainsi D'où résulte la règle suivante, appelée régle des signes : + multiplié par + donne + au produit. On pe — » }- » — » de place Fe ÿ Æ » — » 5 Onof = EE —. À | tient :

On énonce plus simplement cette règle en disant : Le produit À Le pre de deux termes de même signe est positif, et le produit de # la réduc

leu termes de signes contraires est négatif. : ME . » Q TE ia . Ca 5 e 23. De ce qui précède, il résulte que pour faire la multipli | C'estr cation d'un polynôme par un polynôme, on multiplie tous les # teurs par lermes du multiplicande par chacun des termes du multipli-

cateur, en observant la régle des signes. | 25, RE gène (n° Y/ : + Pr = - :

24. Appliquons ces règles à l'exemple suivant : | gène du : Soit à multiplier 3a—442b+92ab—ht « C'est une F1 » op À S S, par: da? + ab—3h?. À posants On dispose les calculs comme il suit : 1 26. RE: ee : —— * vrdonnés Multiplicande BA — 42h + Lab? — (y | nier term inli ' 9 2 1 — 22 3 a Multiplicateu 2€ + ab —3b # terme 3x ms a . , l‘ produit partiel Ga—Rafh + 4a%b? nb . tiplicateu 2° produit partiel +84 da al à ‘es deux 3° produit partiel — Va + al = Gabi+ 30 M lort expo es ES + neraunré Produit réduit Ga — ai — Ja + LD T7 ab + Bb, + Parunera

“en mullip à dernier ter ‘autre, car dans lesqu : Donc /e + 3a multiplié par +24? donne +-6a? © uisent an — 44h » +20 » —8Satb © Comme +2al? » + %a? » + ab? uit de der — hp ) + 2a° » —9a2b", à Lorsqu'il

Après avoir ordonné les deux polynômes et placé le multiplicateur au-dessous du multiplicande, on fait le produit de tous les termes du multiplicande par le 1e" terme du multiplicateur, et on dit :

Éd ic:

l'O PARTIE, CALCUL ALGÉBRIQUE (à

Ayant obtenu le premier produit partiel, on multiplie tous les termes du multiplicande par le deuxième terme du multiplica-

e Las ce ee teur, et on dit :

dé + a par —(: +94 multiplié par +wh donne + ail...

de —b par —(. el ainsi de suite; on obtient le second produit partiel,

des signes : UNIES TES LC ab, | produit. On peut l'écrire à la suite du premier, mais il est préférable » de placer les termes semblables les uns au-dessous des autres. » , Un opère de même pour le troisième produit partiel et on ob- ? » tient : — VOB + Ta Gal: + 3h, ant: Le produit M Le produit total est la somme des produits partiels: si on fait el le produit de # la réduction des termes semblables, on obtient

GA — Saba Tab + 3h,

FA rat,

ve la multipli- C'est pour faciliter cette réduction qu'on ordonne les deux facvuilliplie tous les À {ours Par rapport aux puissances d'une même lettre. res du multipli-

25. REMARQUE IL. Le multiplicande étant un polynôme homogène (n° 9) du 3° degré, et le multiplicateur un polynôme homo- « gène du X, le produit est un polynôme homogène du 3e degré. C’est une conséquence de la règle des lettres et de celle des ex- . posants.

26. REMARQUE IL Le multiplicande et le multiplicateur étant « vrdonnés par l'apport aux puissances décroissantes de à, le premier terme Ga du produit, obtenu en mullipliant le premier “ terme 3a* du multiplicande par le premier terme 2%? du multiplicateur, n’est semblable à aucun autre; car il est le produit à des deux termes dans lesquels la lettre à est affectée du plus + /orl exposant, et toute autre combinaison de deux termes don- + "era un résultat dans lequel la lettre 4 aura un exposant moindre, © Par une raison analogue, le dernier terme 36° du produit, obtenu “en mullipliant le dernier terme —/* du multiplicande par le + dernier terme — 3/2 du multiplicateur, n’est semblable à aucun A autre, car il est le résultat de la multiplication de deux termes ‘lans lesquels la lettre a n'entre pas.

7 Donc le premier et Le dernier lerme du produit ne se re- + 6aÿ uisent avec aucun auire terme.

—Sab “ Comme conséquence de cette remarque, on conclut que le pro- + 43h? à uit de deux Polynômes est au moins un binôme.

—Vab, + [Lorsqu'il n'ya pas de réduction possible, /e nombre des termes

TTL

1 6abi+ 30"

Tab,

lacé le multipliproduit de tous | multiplicateur,

lu produit est égal au produit du nombre des termes des deux facteurs.

27. Souvent on se borne à indiquer une multiplication algébrique sans l'effectuer immédiatement; pour cela on renferme chacun des facteurs dans une parenthèse, et on les écrit l’un à la suite de l’autre, sans interposition de signe,

Ainsi, pour indiquer la multiplication de a+ b par 4—4h, on écrira : é

28. Si l'on multiplie —4« pal — «4, on aura + 4°, deuxième puissance de —4a;: si l'on multiplie +4? par —4, on aura — 4”, troisième puissance de —4: si l'on multiplie —a par tt, ON aura +4, quatrième puissance de — 4; et ainsi de suite, D'où l’on voit que Les puissances paires d'une quantité négulive sont positives, et les puissances impaires , négatives.

Les puissances successives de 4 étant toujours l'unité, il en résulte qu'on peut toujours donner à +1 un exposant quelconque : ainsi 1, 4?, 1? 1'..., sont des expressions équivalentes. On peut de même donner à — 1 un exposant impair quelconque, de sorte que -—1 est la même chose que —1*, ou que —1,

29. Il est quelques mulliplications remarquables dont il importe de retenir le produit; telles sont les suivantes :

a+ b a—+b a+ b a+ b a— a—b ad ab — ab a+ ab + ab + b? — ab + D? — ab— |?

+ ab + h?, ab + Dh? a — b?, Ces résultats s'indiquent ordinairement comme il suit : a+b}= +R +9 4; (a—b} = a+ pr 9) (2 (A+ b)(a—b)= ap, (3

Voici leur énoncé en langage ordinaire :

Le carré de la somme de deux nombres égale le carré du Dremier, plus le carré du Second, plus deux fois le produit lt premier par le second.

Le carre de la différence de deu nombres égale le carré du

:car dans ll

ni

premier, du premu

Le pro:

de ces n carré du