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ou 21 ( m?— +) >.

Les racines du trinôme 10m

[l To!

égalé à zéro sont :

148 ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE | Le premier membre de l'inégalité devant être positif, il faut que Æ@ VI Zror i 10m 1 | : ; le trinôme m Tr +2Tr ait une valeur de même signe que

son premier terme , ce qui exige que » ne soit pas compris entre

I ; Posons les deux racines (n° 162). Ainsi m doit être plus grand que 3 où à ‘ É ou s 1 e :

plus petit que 33 il peut done valoir tous les nombres com- doi ris entre À et et entre 1 et —c P 3 +00, re 7 oc. ® Pour que

=. : 1 i Le minimum de ia fraction est donc à , Son maximum est . ds. b) 1 Ce trinôr | : " \ l D 4 : ils Pour m=—3 l'équation (1) donne æ—3, et pour m=—; we -q la même équation donne æ—5,. D quesoient |

la fraction } La fraction proposée est donc maximum pour æ—5 et mini-

mum pour æ—3, . Pour la :

V. Trouver le maximum et le minimum de la fraction Es] portant cett a?+3 Pour lev 2 — x? —1" © 1—7—9- EE d?f la forme (2 Es En suppri ou (1m) —Imae Em +3—0 M4 — 4m 3 Ar ET :

mn REMARQUE.

Pour que x soit réel, il faut qu'on ait : à lieu d'être ég = dans ce cas :

ou 4Mm+3<0, soit 0 | VIL. Trou Ainsi » doit être plus petit que | peut donc valoir 4° 3 ——. : :

tout au plus — 2° et la fraction proposée a un maæimum et Posons n'a pas de munimum.

o Pour M—=—%, ontrouve x——3, d'où

Tr . Trouver le maximum et le mini racti itif, il faut que VI. Trouver le vum et te minimum de la fraction

me signe que

comprisentre 4 1°

) LT ns 4 i i Posons Pr LL idque 3 ou @ ee & où LEONA) ma — 2m —4)—0 ombres com- % d'oi nm ME V Im — Em TETE ou med

Pour que æ soit réel, il faut qu'on ait :

I In? — im +160.

Imum est 7

Ce trinôme égalé à zéro a ses deux racines égales chacune A

: 1 D à ;; ilsera donc positif comme son premier terme, quelles pour m—; 3

que soient les valeurs qu'on donne à m (n° 163) ; par conséquent là fraction proposée n'a ni maximum ni minimum.

= et mini- 4 Pour la valeur particulière de M3 ; on trouve æ—9; . Æ portant cette valeur dans la fraction, il vient m=—, action & , û Pour lever l'indétermination, remarquons que le trinôme DD 2—(0—2)(xt1) et que x?—% peut être mis sous la forme (æ+9)(x—9), En supprimant le facteur commun (æ—2) on trouve : a CES En REMARQUE. Si les racines du trinôme In? — 24m 16, au lieu d'être égales , avaient été imaginaires, la fraction n'aurait eu ; dans ce cas aussi, ni maximum ni minimum (n° 164), VIL. Trouver le maximum et le minimum de la fraction 4x — 9x? 11 donc valoir DE

azæimum et

PE se “om 20

GE + a me

150 ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE Pour que x soit réel, il faut qu'on ait :

—(Mm°+m—6)>0

Les racines du trinôme M°m—6 égalé à zéro sont 9 a : | e 0.

Pour que l'expression —{yn? +in—6) soit plus grande que zéro, il faut que le trinôme m? +-m—6 ait unsigne contraire à celui de son premier terme, ce qui aura lieu pour toute valeur de #» comprise entre les deux racines 1-2 et —3 (n°162)

M pouvant valoir 2.1.0—1, —9 ot —3, on voit que 2 est un maximum et —3 un minimum.

Pour m—92, on trouve T=35, Ct pour m——8, il

vient x=- —9,

18%. Les quelques exercices que nous venons de résoudre nous permettent de formuler la règle suivante :

Après avoir formé l'expression algébrique de la fonction susceptible de devenir un maximum ou un minimum, on l'égale à une inconnue, » par exemple, et on résout l'équation par rapport à la variable æ. Deux cas peuvent se présenter : 4° La quantité placée sous le rcdical est du deuxième degré en m : on égale cette quantité à zéro; si les racines sont réelles et inégales, la plus grande racine est maximum et la plus petite minimum, quand le premier terme est négatif (problème VIT); si ce terme est positif, c’estau contraire la plus petite racine qui est un maximum et la plus grande un minimum (problème IV). Si les racines sont égales ou imaginaires, il n'y a ni maximum ni minimum (problème VI); 2 La quantité placée sous le radical est du premicr degré en #, ou bien ne renferme la valeur m qu’à la seconde puissance, sans la contenir à la première ; dans ce cas il y a un maximum sans minimum ou un minimum sans maximum, On obtient l’un ou l'autre en égalant cette quantité à zéro.

et il est facile de distinguer l'un de l’autre (problèmes I, IE, IT et V).

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