PROGRESSIONS, LOGARITHMES, INTÉRÊTS COMPOSÉS ET ANNUITÉS
$ I. — Des Progressions.
185. On appelle progression une suite de termes tels que le rapport de deux termes consécutifs est constant.
Il y a deux espèces de progressions : les progressions arithméliques ou par différence, et les progressions géométriques ou par quotient.
Progressions arithmétiques.
186. Une progression arithmétique est une suite de termes (els que chacun d'eux égale le précédent augmenté d'une quantité constante appelée raison de la progression.
Une progression arithmétique est croissante lorsque la raison est positive; elle est décroissante lorsque la raison est négative.
EXEMPLES
La première progression est croissante; sa raison est +2. La seconde est décroissante; sa raison est —4.
187. 1'e Propriété. Dans une progression arithmétique, un terme de rang quelconque égale le premier, plus autant de fois la raison qu'il y a de termes avant lui.
Soit la progression :
Par définition, le second terme b égale le premier, plus la raison que nous désignerons par r, soit :
bar.
164 ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE Par définition aussi, le troisième terme plus la visa: mais b égale ar, donc
Cc=a+9r,
De Méuc 16 quatrième terme 4 égale le troisième c, plus Oo la raison; mais « égale 4-2», done
c égale le second b,
d=a+sr, et ainsi de suite,
On voit que le second terme égale le premier plus Ja raison : le troisième égale le p:nier jius deux fois la raison; le quatrième égale le premier plus trois fois la raison , etc,
En général, désignant par un même terme de rang quelconque *, etpar 4 le premier terme de la progression, on a: l=a+{(n—1\r,
De cette propriété il résulte qu'une progression arithmétique
+a.b,c.d.e,f......l peut s'écrire :
APPLICATIONS. 1° 7rouver le 30° nombre impair : Les nombres impairs forment une progression.
dont la raison est 2, On aura donc ie 30e terme—1+29%x9 ou D9.
2 Trouver le 21° terme de la Progression +00,75,70,65,60...
On aura :
le 21e terme 80-20 {(—9) ou —920,
188. Remarque. Les termes d'une progression arithmétique croissante augmentent indéfiniment et peuvent devenir plus grands que toute quantité donnée A.
Un terme de rang quelconque # ayant pour expression
(N—1}r, posons :
( n—1)r>A, . ÀA—« d'où n—1>" = ——
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Ainsi
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IV® PARTIE, — PROGRESSIONS, LOGARITHMES, ETC, 165 et par suite A Aa n> +1.
r CNRS : £ r A—« Ainsi le terme dont le rang est exprimé par : +1 est
plus grand que A.
ExEmpLe, Dans la progression +1.1,1.1,2.1,8.4,4..
le terme qui sera plus grand que 1 000 000 occupera le rang marqué par
n> D ns LA, 999999
n>9999991 , soit le 9999992 rang, comme il est facile de le vérifier,
189. 2 PROPRIÉTÉ. Dans une Progression arithmétique, la somme de deux termes également distants des extrémes esl onstante et égale à la somme des extrémes.
Soit la progression +a.,b.c.d.....h.i.k.l.
Considérons les termes e et x de trêmes.
Ou à (n° 187) :
, qui sont à égale distance
On a aussi :
l=i+9r, d'où 1—/—9». (2) Ajoutons membre à membre les égalités (1) et il vient :
C+i—=a+9r+l—9» ou at, En général, soient d et A deux termes de rangs tels, qu’il
y ait »x termes avant d et mn termes après À, a et ! étant les extrêmes, on aura :
d=a+mr, (1) Et Ü—h<+mr d'où h=i— mr, (2)
Ajoutons les égalités 1) et (2), on trouve, après réduction :
ILh=atl,
Remarque.
est impair, /e
extrèmes,
Lorsque le nombre des termes de la progression terme du milieu égale la demi-somme des termes
190. 3e Pnornkéré, La somme des term arithmétique égale la demi-somme par le nombre des lermes,
8 d'une progression des extrèmes mnultipliée 4
Soit une progression de n termes, +a.b.c....h,k,l:
on aura pour expression de la somme S=a+b+c....+h+rhe, S= LE k+h..+c+b4 4, Ajoutons membre à membre :
2S=(a-+l)L(p4 dan COTE AUSETENTANINNTEE - Chaque parenthèse renferme soit les deux extrêmes, soit deux termes également distants des extrêmes; ces parenthèses sont
donc égales. Et comme il y en à autant que la progression compte de termes, on peut écrire :
