On appelle moyens arithmétiques, ou différentiels, des
nombres qui forment avec deux nombres donnés une progression arithmétique dont les nombres donnés sont les extrêmes,
PROBLÈME, /nsérer entre a et b, m moyens arilhméliques. Cherchons la raison de la progression,
Cette progression aura m+9 termes, savoir les m moyens, plus les deux termes donnés.
Donc b—a+(m+1)r (no 187).
l'où Tr b—a : mi:
Ainsi la raison de la progression s'obtient en divisant le dernier terme diminué du premier, par le nombre des moyens à insérer plus un.
APPLICATIONS, 1° Insérer entre Q et 24, 10 moyens arithmetiques.
On a : = =2.
La progression sera :
2 Insérer, entre 80 et 50, 5 moyens arihimétiques.
On a:
La progression sera :
REMARQUE. Si entre les termes consécutifs d'une progression arithmétique on insère un même nombre de moyens, les progressions partielles ainsi obtenues forment une seule et même progression.
TT EE Le Me TE me
En effet, la raison de ces progressions est la même, puisque, pour chacune d'elles, on l'obtient en divisant la différence consante de deux termes consécutifs par le nombre de moyens à insérer plus un. De plus, le dernier terme de la première progression est le premier de la seconde, le dernier de la seconde est le premier de la troisième, et ainsi de suite. Donc toutes ces progressions partielles forment une seule et même progression.
APPLICATION. Insérer 3 moyens arilhimétiques entre tous les lermes de la progression :
La raison des progressions partielles sera :
19—5, 921—13 99-91 æ l'E her nl Sn 4 c'est-à-dire z où 2.
On aura successivement :
#0,71:9,11,48, +13.15.17.19.91, +21.23.95,97,99....., que l'on peut écrire :
et l’on n’a qu’une seule et même progression.
194 Les formules :
renferment cinq quantités «, l,r,n ets; trois quelconques de ces quantités étant donr :es, on peut trouver les deux autres: ce qui permet de faire dix énoncés différents, résumés dans !: tableau suivant.
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