SR RATE UE ON
En es
person port qi nombr
PROR a-t-elle
D'ap est 734 50 ans.
PRoB mier dl et laut
D'apr à 45 an
La pre
à 90 an, à 30+< La pra
La pr:
particu!i
PROBL quelle p n'ait ph
De 42
D'aprè
à b4 ans
> d'atteinctre
‘es de 20 ans,
| quel âge le qu'il était à
vivants est e, On trouve lant à 74 et re des per-
d’une pernt s'écouler réduit à sa
‘sonne dyee
le nombre entre 63 et
ent à 16 ans it à espérer ndre d’être
7 ans,
Luel, donne ur {out âge
Jnne :
206. Chance d'atteindre un âge donné. La probabilité qu'une personne d'un âge donné a d'atteindre un autre âge est le rap-
port qui existe entre le nombre des vivants nombre des vivants du premier,
du second àge et le
PROBLÈME VI. Quelle probabilité une personne de 30 ans
at-elle d'arriver à l'âge de 50 ans ?
D'après la table de Déparcieux, le nombre
des vivants à 30 ans
est 734; le nombre des vivants 20 ans plus tard, c’est-à-dire à 90 ans, est 581; la probabilité demandée est donc :
581 EL 734» environ +.
PROBLÈME VII, Un propriétaire âgé de 45 ans prend un fer-
mier de 30 ans : quelle probabilité y a-t-i
et l'autre vivants dans 20 ans ?
D'après la table de Déparcieux , à 45 ans, le nombre des vivanis est de. à 45420, ou à 65 ans «
ilest de. .
La probabilité qu'a le propriétaire de vivre dans 20 ans est
à 50 ans, le nombre des vivants est de.
à 30420, ou à 50 ans « ilest de. .
La probabilité qu'a le fermier d’être vivant d
l'qu'ils seront l’un
‘ 581 ans 20 ans est BTE
La probabilité générale étant égale au produit des probabilités particulières {n° 253, 2), on aura, pour la probabilité demandée,
PROBLÈME VIII. Un particulier a 54 ans ,
quelle probabilité y a-t-il que le plus jeune,
n'ait plus son frère? De 42 ans pour aller à 62 ans il y à 20 ans.
D'après la table de Déparcieux,
à 54 ans, ie nombre des vivants est de.
à 54420 ans, ou à 74 ans, il est de
OU >; environ.
son frère en a 42 :
parvenu à 62 ans,
Frs
er
Le me +R 4 ‘Le
we
232 ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE La probabilité que le frère aîné a d'être vivant dans 20 ans Dan 231 | est or est 598 ? La à 42 ans, le nombre des vivants est de, , , 643 E 289 à 424-920 ans, ou à 62 ans, il est de. 497 E tes La probabilité que le jeune frère a d’être vivant dans 20 ans LE lique. 437 L'es on 043” est le La probabilité que les deux frères seront vivants dans 20)ans 260 est donc : i Lie .
q® ( * même ARR ou 2 environ E pe 4: " A 7 . ; n+1 538 x 643 10 E on Par suite, la probabilité demandée sera (n° 252) des ve 3 e ) unique Û . { 5 à 1— s0 : La 8 10 soit 10 i : ! leur ac : F d'un at $ IV. — Rentes viagères. F3 ; La p 257. Une rente viagère est une somme payée chaque année à n° 256 une personne jusqu'à la fin de sa vie.
. , 9 On distingue : L'esp 1° Les rentes viagères immédiates, qui commencent à être servies un an après la signature du contrat : 2° Les rentes viagères différées, qui ne commencent à être F La 80 payées qu'après une époque convenue . à 3° Enfin, les rentes viagères temporaires, qui ne sont servies ” valeur a que durant un certain temps. \
2 ans, 258. Le capital nécessaire pour obtenir une rente viagère im- :
médiate se paie en entier au moment de la signature du contrat: : La pre on dit alors qu'il y a prime unique,
et l’espé Le capital nécessaire pour obtenir une rente viagère différée se paie en une seule fois, et alors il Y à prime unique, ou bien on paie une même somme au commencement de chaque année, Hfrèds et seulement en cas de vie, jusqu'au moment où on commence me à servir la rente, et alors il Y à prime annuelle. En cas de mort, EN 7 les primes versé t ia joui
SESÉES aVañt ia jouissance de la rente ne sont pas rendues,
nt dans 20 ans
1t dans 20 ans
ls dans 20 ans
aque année à
ncent à être ncent à être
sont servies
: viagère ime du contrat:
zère différée que, ou bien aque année, n commence cas de mort, ne sont pas
Dans le calcul des rentes viagères, le taux de l'intér est ordinairement de 4 ou de 4 1/9 p. ‘/,.
La table de mortalité employée est celle de Dép
‘èt composé
arcieux,
259, Pour résoudre les questions sur le a besoin d'un élément de calcul tique.
L'espérance mathématique d'un gain plus ou moins probable est le produit de ce gain par la probabilité de l'obtenir,
s rentes viagères, on appelé espérance mathéma-
260. Rente immédiate, Soient V, le nombre des vivants du même âge que la personne qui veut acheter une rente viagère, Vi+1 le nombre des vivants ayant un an de plus, V nombre des vivants ayant 2 ans de plus, .....V,,, le nombre des vivants du dernier âge marqué dans la table, et P la prime unique à payer pour avoir une rente annuelle de A francs.
La somme A, qui doit être payée au bout d’un an,
n+2 le
à pour va-
leur actuelle ri car (n° 237) ee. deviendra au bout ù All+r) d'un an nl A.
La probabilité qu'a la personne de vivre encore un an est
no 256) Vus, L'espérance mathématique de cette prob A Via
Er * V,
La somme A, qui doit être payée au bout de 2 ans, a pour A À À (rp Cr rh deviendra, au bout de
té sera donc :
valeur actuelle
J di
ins : V La probabilité qu'a la personne de vivre encore 2ansest +2.
et l'espérance mathématique pour cette probabilité sera : A AT (+7 FN
En continuant le même raisonnement, on trouvera rance mathématique pour 3 ans sera :
'nx3 Des
que l’espé-
EL
et celle correspondant au dernier âge marqué dans la table :
a Vu.
Mio
On aura donc, pour la somme des espérances mathématiques
formant l'espérance totale, c’est-à-dire la valeur actuelle de la rente où prime unique :
A ou, en mettant y €n facteur commun, n
de À Vywt = A. Vigs V, +5 | [4 La ot pos |.
En désignant par S, la valeur de la parenthèse, on aura : Î PE S, {9\ | P=AX V, ; (#) Dans cette formule Su
exprime la prime unique pour une
n rente annuelle de 1 franc.
PROBLÈME I. Un particulier âgé de 88 ans veut se procurer une rente viagère de 2000 fr. : quelle somme devra:t-il donner?
En faisant dans la formule (1) A=2000, V,=S88 et U—+r)=1,04, on trouve :
= 20007 Vas à Von 1 Vos Vo Ve j Va Vos | É, DU po dés tn tandis tante Et, en remplaçant Ve, Va, Voo Va par les nombre fournis par la table de Déparcieux, il vient :
16 11 7 4 2 1 0 PR OOO pr-proue trou ont prune % )
