On donne Je nom

de permutations aux arrangements de ux autres, dont objets pris y à m. î Ce sont les divers groupes que l’on obtient en disposant les uns à \ 1ème la suite des autres et de tou

(es les manières possibles les m objets, "4

” : de telle sorte que chacun d'eux se trouve dans tous les groupes et ne ) 5

s'y trouve qu'une fois, Aiasi, avec les trois lettres Ê sont :

e décomposé en a, b,c, les Permulations possibles

abc, acb. bac, bca, cab.

cha.

avec le signe + 5

Jourrait cepen- Ë 284. Enfin, on donne !] s, il est aisé de d dans lesquels deux gr s mêmes termes 5 objet. ; =

ient des signes ÎN Ainsi, les combinai signe + la ra- |A prises deux à de

£ nom de combinaisons aux

arrangements oupes quelconques diffèrent au

moins par un

sons qu’on peut former

avec trois lettres a, b, c, UX, sont :

F ab, ac, be. pe

Ce sont les produits différents qu'on obtient av

deux à deux.

ec trois facteurs pris

Calcul du nombre des arrangements, ne quelconque 285. Soit à trouver !« nombre des arrangements possibles entre les »% premières lettres de l'alphabet, prises une à une, deux à deux, trois à trois... m à m.

Il est évident que les arrangeme

nts des m lettres une à une sont :

60% dd, 1 ?

leur nombre est m.

Donc, en représentant par A’ m lettres une à une, on aura :

le nombre des arrangements des

ts: ceux de la là 1=Mm.

lettre b vont Pi = :

es lettres est Ë Pour obtenir les arrangements des m lettres prises deux à deux, erçoit pas la DM ilfautécrire successivement à la suite de chaque lettre &, 6,c...,l, du P ; premier arrangement les m—1 lettres qui restent. On a ainsi : LENS | la théorie des R ab, ba, ca, du... la, QC, bc, cb, db... > UD, ad, bd, cd, de... le, les différents al, bl, él, al, -

n, et les diseux arrangelettre.

tres a, b, c,

Les arrangements deux à deux «

M—1 lettres qui restent, se tr verticale,

ÉE Dans la formation du lableau précédent,

2 deux n'a été Omis; Car, par la manière do

a écrit successivement à la suite de

Iue chaque lettre à formés avec les OUvent tous dans une même colonne

aucun arrangement deux à nt nous avons procédé, on chaque lettre les m—1 autres

De ab 2

Le

Lis on me EX DR

De ET

Fr

lettres; aucun arrangement n’a été répété; car les arrangements qui se trouvent sur un horizontale diffèrent tous par la première lettre, et eux t sur une même colonne verticale diffèrent tous par | nière icltre,

Mais chaque arrangement un à un a fourni m—1 arrangements nouveaux ; les m arrangements un à un ont donc fourni un nombre d'arrangements deux à deux marqué par m(m—1)

En représentant par Aÿ° le nombre des arrangements deux à deux, on aura :

Ag=m(m— Ii),

Pour obtenir les arrangements de m lettres trois à trois, il faut écrire successivement à la suite de chaque arrangement deux à deux chacune des m—2 lettres qui ne font point partie de cet arrangement; on à ainsi:

abc, acb, adb...., bac, bea.…., cab, cha...

abd, acd, adc.…., bad, bed... cad, cbd..…..

able, ace, ade.……. > DU, bte... » Cae, cbe.…. abl, acl, adl.….…., bal, bol... cal, cbl.…

Les arrangements trois à trois que chaque arrangement deux à deux a formés avec les m—2 lettres qui restent, se trouvent tous dans une même colonne verticale.

Nous prouverions comme précédemment que, dans la formation du tableau ci-dessus, aucun arrangement n’a été omis, aucun arrangement n'a été répété. Mais chaque arrangement deux à deux a fourni m2 arrangements nouveaux; les m(m—1) arrangements deux à deux auront donc donné un nombre d’arrangements trois à trois marqué par m(m—1)(m—2),

En représentant A le nombre des arrangements des m lettres trois à trois, on aura :

Aÿ=m(m—1)(m—2) D'où l’on conclut la loi suivante :

Le nombre des arrangements n à n de m objets sera donné par

un produit de n facteurs, dont le Premier sera m, les autres diminueront successivement d’une unité.

Ainsi le nombre des arrangements de 8 obiets 5 à ÿ ser: AF=BX IX 6 > 5 > 4 = 6720, En général :

Calcul du nombre de: rm ations.

286, Si l'on veut obtenir le nombre wes permulations, il faut eal-

culer celui des arrangements des m lettres m à m ( no 283),

Poe

Et ou b

Ai est :

n à 9 mulat

Re de m cune( nàn cessiv plus, sons C:

Or, n objl nombr le proc

{ions <ç

Ains d'où

288, que cel

En ef fois que m obje eux-mêr

Donc nombre

20 À nome pe par chac

les arrangements diffèrent tous par colonne verticale

-1 arrangements ourni un nombre

ents deux à deux,

8 à trois, il faut nent deux à deux de cet arrange-

ngement deux à se trouvent tous

la formation du aucun arrangeà deux a fourni gements deux à ts trois à trois

des m lettres

sera donné par les autres dimi-

) ser:

ns, il faut ea o 283),

APPENDICR En appelant P,, ce nombre des permutations, on aura : PA, = m(m—1)(m—2) (m—3)....3.0. Î ou bien, en écrivant les facteurs dans l’ordre inverse, P,=1.2,3.4.5..... m.

Ainsi le nombre des

permulations qu'on peut faire avec cinq lettres est :

Py=1.2,3,4.4= 190,

Calcul du nombre des combinaisons.